Qisqa koʻpaytirish formulalari

🟢 — masalani tezlashtiradi · 🟡 — ilg'or daraja · 🔵 — chuqur o'rganish (olimpiada darajasi)

🟢 Kub formulalari

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \qquad (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \qquad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

🟢 Kvadratlar bilan ayniyatlar

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \qquad (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab \qquad (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

🔵 Uch o'zgaruvchili ayniyatlar

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

Natija: $a + b + c = 0$ bo'lsa, $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \tfrac{1}{2}\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right] \ge 0$

🔵 Umumiy darajalar ayirmasi

$x^n - a^n = (x - a)\left(x^{n-1} + a x^{n-2} + a^2 x^{n-3} + \dots + a^{n-1}\right)$

$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$