Kvadrat funksiya va parabola

🟢 — masalani tezlashtiradi · 🟡 — ilg'or daraja · 🔵 — chuqur o'rganish (olimpiada darajasi)

Kvadrat funksiyaning qiymatlar sohasi

To'la kvadratga keltirasiz: $f(x) = a(x - p)^2 + q$.

• $a > 0$ bo'lsa: $f(x) \ge q$
• $a < 0$ bo'lsa: $f(x) \le q$

Misol: $f(x) = x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 + 3$, demak $f(x) \ge 3$.

Kvadrat funksiyada sohani qayerdan cheklash kerak

Kvadrat funksiya $a(x - p)^2 + q$ bittaga-bitta bo'lishi uchun aniqlanish sohasini uchidan bir tomonga cheklaysiz: $x \ge p$ yoki $x \le p$.

Shuning uchun imtihonda "$f$ ning teskarisi mavjud bo'ladigan eng kichik $k$ ni toping ($x \ge k$)" savoli chiqsa, javob odatda $k = p$.

Ko'phad grafiklarini chizish

• Grafik $y$ o'qini $(0,\ \text{ozod had})$ nuqtada kesadi.
• Ko'phad ko'paytuvchilarga ajratilgan bo'lsa, har bir $(x - a)$ ko'paytuvchi $x = a$ da $x$ o'qini kesishni bildiradi. Takroriy ko'paytuvchi $(x - a)^2$ bo'lsa, grafik $x = a$ da o'qqa urinadi.
• $n$-darajali ko'phad grafigi $x$ o'qini ko'pi bilan $n$ marta kesadi va ko'pi bilan $n - 1$ ta burilish nuqtasiga ega.
• Katta $|x|$ da grafik shaklini bosh had ($x^n$ li had) belgilaydi:

• $y = \dfrac{1}{x^n}$ grafigining asimptotalari — koordinata o'qlari ($x = 0$ va $y = 0$).

🟢 Kvadrat funksiya

$y = ax^2 + bx + c$ ning statsionar nuqtasi: $x = -\dfrac{b}{2a}$