Integrallash asoslari📈 Grafikda koʻrish

⭐ — imtihonda eng ko'p ishlatiladigan formulalar. · 🟢 — masalani tezlashtiradi · 🟡 — ilg'or daraja · 🔵 — chuqur o'rganish (olimpiada darajasi)

Integrallash — differensiallashning teskarisi

• ⭐ $\dfrac{dy}{dx} = x^n \;\Rightarrow\; y = \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} + c \qquad (n \neq -1)$. Bu $n$ manfiy yoki kasr bo'lganda ham ishlaydi.
• ⭐ $+\,c$ (integrallash o'zgarmasi) har doim yoziladi. Egri chiziqdagi bitta nuqta $(x_0, y_0)$ berilsa, uni qo'yib $c$ topiladi.
• Qoidalar: $\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx \qquad \int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

⚠️ Ko'paytma yoki bo'linmani to'g'ridan-to'g'ri integrallab bo'lmaydi. Avval qavslarni oching yoki bo'lib chiqing: $\displaystyle\int \frac{x^2 + 1}{x^2}\,dx = \int (1 + x^{-2})\,dx$

Teskari zanjir qoidasi

• ⭐ $\int (ax + b)^n\,dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + c \qquad (n \neq -1)$

🟢 Integral orqali

$s = \int v\,dt \qquad v = \int a\,dt$

• Ko'chish: $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v\,dt$
• Bosib o'tilgan yo'l: $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v|\,dt$ — $v$ ishorasi o'zgarsa, bo'laklarga ajrating.

🟡 Standart integrallar

🟡 Teskari zanjir qoidasining umumiy shakllari

$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x) \rvert + c \qquad \int f'(x)\,[f(x)]^n\,dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n + 1} + c$

🟡 Bo'laklab integrallash

$\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$