Funksiya, aniqlanish va qiymatlar sohasi

⭐ — imtihonda eng ko'p ishlatiladigan formulalar. · 🟢 — masalani tezlashtiradi · 🟡 — ilg'or daraja · 🔵 — chuqur o'rganish (olimpiada darajasi)

Asosiy tushunchalar

• Akslantirish (mapping) — kirish qiymatlarini (obyektlar) chiqish qiymatlariga (obrazlar) bog'lovchi qoida. Turlari: bittaga-bitta, ko'pga-bitta, bittaga-ko'p, ko'pga-ko'p.
• ⭐ Funksiya — har bir kirish qiymatiga aynan bitta chiqish qiymati mos keladigan akslantirish (bittaga-bitta yoki ko'pga-bitta).
• Belgilash: $f(x) = 2x + 5$ yoki $f: x \mapsto 2x + 5$
• Aniqlanish sohasi (domain) — mumkin bo'lgan $x$ qiymatlar to'plami.
• Qiymatlar sohasi (range) — funksiya qabul qiladigan qiymatlar to'plami.
• Aniqlanish sohasini tanlashda: nolga bo'lish bo'lmasin ($\frac{1}{g(x)}$ da $g(x) \ne 0$) va manfiy sondan kvadrat ildiz olinmasin ($\sqrt{g(x)}$ da $g(x) \ge 0$).
• Funksiya grafigida har bir $x$ ga faqat bitta $y$ mos keladi: har qanday vertikal chiziq grafikni ko'pi bilan bir marta kesadi.

🟢 Qayerda funksiya aniqlanmaydi

🟢 Qiymatlar sohasini topish usullari

• Kvadrat funksiya: to'la kvadratga keltiring.
• Chiziqli funksiya: chegaraviy nuqtalardagi qiymatlarni hisoblang.
• $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$: $y = \dfrac{a}{c}$ dan boshqa barcha qiymatlar.
• Umumiy usul: $y = f(x)$ ni $x$ ga nisbatan yechib, qaysi $y$ uchun yechim borligini tekshiring.

🟢 Juft va toq funksiyalar

• Juft: $f(-x) = f(x)$ — grafik $y$ o'qiga nisbatan simmetrik (masalan, $x^2$, $\cos x$)
• Toq: $f(-x) = -f(x)$ — grafik koordinata boshiga nisbatan simmetrik (masalan, $x^3$, $\sin x$)
• Juft × juft = juft, toq × toq = juft, juft × toq = toq

🔵 Har qanday funksiyani juft va toq qismga ajratish

$f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{juft}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{toq}}$

🟢 Davriy funksiyalar

$f(x + T) = f(x)$ barcha $x$ uchun bajarilsa, $f$ — davri $T$ bo'lgan davriy funksiya. $f(bx)$ ning davri $\dfrac{T}{b}$.