Chiziqli tengsizliklar

🟢 — masalani tezlashtiradi · 🟡 — ilg'or daraja · 🔵 — chuqur o'rganish (olimpiada darajasi)

Tengsizliklar

• Manfiy songa ko'paytirsangiz yoki bo'lsangiz, tengsizlik belgisi teskariga o'zgaradi.
• Kvadrat tengsizlik ($\alpha < \beta$) — avval grafigini chizing:
  • $(x - \alpha)(x - \beta) < 0 \;\Rightarrow\; \alpha < x < \beta$
  • $(x - \alpha)(x - \beta) > 0 \;\Rightarrow\; x < \alpha$ yoki $x > \beta$

🟢 Klassik tengsizliklar

$a^2 + b^2 \ge 2ab \qquad \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} \;\; (a, b \ge 0) \qquad x + \frac{1}{x} \ge 2 \;\; (x > 0)$

O'rta arifmetik ≥ o'rta geometrik. Tenglik faqat $a = b$ bo'lganda. Natija: yig'indisi $s$ bo'lgan ikki musbat sonning ko'paytmasi eng ko'pi bilan $\dfrac{s^2}{4}$.

🟢 Kasrli tengsizlik

$\dfrac{x - a}{x - b} > 0$ ni yechishda ikkala tomonni $(x - b)^2$ ga ko'paytiring (u har doim musbat): $(x - a)(x - b) > 0$, $x \ne b$.