Proporsiya

⭐ — imtihonda eng ko'p ishlatiladigan formulalar.

Nisbat va proporsiya

• Nisbat $a : b = \dfrac{a}{b}$ ($b \ne 0$): $a$ soni $b$ dan necha marta katta (yoki uning qancha qismi) ekanini bildiradi.
• Nisbat qiymati kasrning asosiy xossasi bilan o'zgarmaydi: $a : b = (ka) : (kb)$.
• ⭐ Proporsiya — ikki nisbatning tengligi: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$. Chekka hadlar $a$ va $d$, o'rta hadlar $b$ va $c$.

Proporsiyaning asosiy xossasi

• ⭐ Chekka hadlar ko'paytmasi o'rta hadlar ko'paytmasiga teng: $a \cdot d = b \cdot c$.
• ⭐ Noma'lum hadni topish: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x} \Rightarrow x = \dfrac{bc}{a}$.
• Proporsiyani o'zgartirish mumkin: $\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}$, $\;\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$, $\;\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}$.
• Qo'shish va ayirish xossasi: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d}$ va $\dfrac{a - b}{b} = \dfrac{c - d}{d}$.

Proporsional bog'liqlik

• ⭐ To'g'ri proporsional: $y = kx$, ya'ni $\dfrac{y}{x} = k$ o'zgarmas. Biri necha marta oshsa, ikkinchisi ham shuncha marta oshadi (masalan, narx va miqdor).
• ⭐ Teskari proporsional: $xy = k$ o'zgarmas. Biri necha marta oshsa, ikkinchisi shuncha marta kamayadi (masalan, tezlik va vaqt, bir xil yo'lda).
• Hisoblash usuli: birga keltirish (bitta birlik uchun topish) yoki proporsiya tuzish.

Nisbat bo'yicha bo'lish

• ⭐ $A$ ni $m : n$ nisbatda bo'lish: $\;\dfrac{m}{m + n}A$ va $\dfrac{n}{m + n}A$.
• Uch qismga $m : n : k$: $\dfrac{m}{m + n + k}A$, $\dfrac{n}{m + n + k}A$, $\dfrac{k}{m + n + k}A$.
• Misol: $90$ ni $2 : 3 : 4$ nisbatda bo'lish. Qismlar $2 + 3 + 4 = 9$, bir qism $90 : 9 = 10$. Javob: $20,\ 30,\ 40$.

Masshtab

• Masshtab $1 : n$: xaritadagi uzunlik $\times\, n$ = haqiqiy uzunlik.
• Misol: $1 : 50\,000$ masshtabda xaritada $4$ sm haqiqatda $4 \cdot 50\,000 = 200\,000$ sm $= 2$ km.