Mavzular

Mavzular / Tenglamalar va funksiyalar

Murakkab va teskari funksiya

⭐ — imtihonda eng ko'p ishlatiladigan formulalar. · 🟢 — masalani tezlashtiradi · 🟡 — ilg'or daraja · 🔵 — chuqur o'rganish (olimpiada darajasi)

Murakkab funksiya (composite)

  • ⭐ gf(x)=g(f(x))gf(x) = g\big(f(x)\big) — avval ff, keyin gg bajariladi. Odatda gf(x)≠fg(x)gf(x) \neq fg(x).
  • ⭐ gfgf mavjud bo'lishi uchun ff ning qiymatlar sohasi gg ning aniqlanish sohasi ichida yotishi kerak.

Teskari funksiya

  • ⭐ Teskari funksiya f−1f^{-1} faqat bittaga-bitta funksiya uchun mavjud.
  • Funksiya bittaga-bitta bo'lmasa, aniqlanish sohasini cheklab, bittaga-bitta qilish mumkin. Masalan, x2x^2 ni x≥0x \ge 0 da olsak, teskarisi x\sqrt{x}. Kalkulyatordagi sin⁡−1\sin^{-1} ham shunday: u faqat −90°-90° dan 90°90° gacha bo'lgan bosh qiymatni beradi.
  • ⭐ f−1f(x)=xf^{-1}f(x) = x va ff−1(x)=xff^{-1}(x) = x
  • (a,b)(a, b) nuqta ff grafigida bo'lsa, (b,a)(b, a) nuqta f−1f^{-1} grafigida. Shuning uchun y=f−1(x)y = f^{-1}(x) grafigi y=f(x)y = f(x) grafigining y=xy = x to'g'ri chiziqqa nisbatan aksi.
  • ⭐ f−1f^{-1} ni topish: y=f(x)y = f(x) deb yozasiz, xx va yy ning o'rnini almashtirasiz, so'ng yy ni ifodalaysiz.
  • ⭐ f−1f^{-1} ning aniqlanish sohasi = ff ning qiymatlar sohasi; f−1f^{-1} ning qiymatlar sohasi = ff ning aniqlanish sohasi.

Misol: f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. x=2y+1x = 2y + 1 dan y=x−12y = \dfrac{x - 1}{2}, ya'ni f−1(x)=x−12f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2}.

🟢 Ko'p uchraydigan funksiyalar

f(x)f(x)f−1(x)f^{-1}(x)
ax+bax + bx−ba\dfrac{x - b}{a}
(x−p)2+q(x - p)^2 + q,   x≥p\;x \ge pp+x−qp + \sqrt{x - q},   x≥q\;x \ge q
(x−p)2+q(x - p)^2 + q,   x≤p\;x \le pp−x−qp - \sqrt{x - q},   x≥q\;x \ge q
x−a+b\sqrt{x - a} + b,   x≥a\;x \ge a(x−b)2+a(x - b)^2 + a,   x≥b\;x \ge b
ax+bcx+d\dfrac{ax + b}{cx + d}b−dxcx−a\dfrac{b - dx}{cx - a}
kx\dfrac{k}{x}kx\dfrac{k}{x} (o'z-o'ziga teskari)

⚠️ Kvadrat funksiyada ±\pm dan qaysi birini olish ff ning aniqlanish sohasiga bog'liq: f−1f^{-1} ning qiymatlari ff ning aniqlanish sohasiga tushishi kerak.

🟢 Murakkab funksiyaning teskarisi

(gf)−1(x)=f−1g−1(x)(gf)^{-1}(x) = f^{-1}g^{-1}(x)

Tartib teskariga almashadi: "avval paypoq, keyin oyoq kiyim — yechishda teskarisi".

🟢 O'z-o'ziga teskari funksiya

f−1=ff^{-1} = f bo'lsa, ff(x)=xff(x) = x. Masalan: kx\dfrac{k}{x},   a−x\;a - x,   ax+bcx−a\;\dfrac{ax + b}{cx - a}.

🟢 Teskari funksiya mavjudligi

  • Gorizontal chiziq testi: har qanday gorizontal chiziq grafikni ko'pi bilan bir marta kessa, funksiya bittaga-bitta.
  • Qat'iy o'suvchi yoki qat'iy kamayuvchi funksiya har doim bittaga-bitta.

🟢 Xossalar

  • Assotsiativ: h(gf)=(hg)fh(gf) = (hg)f
  • Odatda kommutativ emas: gf≠fggf \ne fg
  • ff−1(x)=f−1f(x)=xff^{-1}(x) = f^{-1}f(x) = x (ayniy funksiya)
  • f2(x)f^2(x) odatda ff(x)ff(x) ni bildiradi, [f(x)]2[f(x)]^2 ni emas.

🟢 Qo'zg'almas nuqta

f(x)=xf(x) = x tenglamaning yechimlari — y=f(x)y = f(x) va y=xy = x kesishish nuqtalari. ff o'suvchi bo'lsa, ular ff va f−1f^{-1} ning kesishish nuqtalari bilan bir xil.

ff va f−1f^{-1} grafiklarining kesishishi

ff o'suvchi bo'lsa, f(x)=f−1(x)f(x) = f^{-1}(x) tenglamaning yechimlari f(x)=xf(x) = x tenglamaning yechimlari bilan bir xil.