Oʻsish, ekstremumlar va grafik shakli

⭐ — imtihonda eng ko'p ishlatiladigan formulalar. · 🟢 — masalani tezlashtiradi · 🟡 — ilg'or daraja · 🔵 — chuqur o'rganish (olimpiada darajasi)

O'suvchi va kamayuvchi funksiyalar

• $\dfrac{dy}{dx} > 0$ — funksiya o'suvchi
• $\dfrac{dy}{dx} < 0$ — funksiya kamayuvchi

Barcha $x$ uchun $\dfrac{dy}{dx} > 0$ bo'lsa, funksiya "o'suvchi funksiya" deyiladi. Masalan, $y = x^3 + x$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 1 > 0$.

Statsionar nuqtalar

• ⭐ Statsionar nuqtada: $\dfrac{dy}{dx} = 0$
• ⭐ Ikkinchi hosila orqali tekshirish:

• Gradient ishorasi orqali tekshirish:

Barcha $x$ uchun o'suvchi ekanini isbotlash

• Barcha $x$ uchun o'suvchi ⇔ barcha $x$ uchun $f'(x) \ge 0$ (yoki $> 0$)
• $f'(x)$ kvadrat uchhad bo'lsa: bosh koeffitsient musbat va $D < 0$, yoki to'la kvadratga keltirib $f'(x) = a(x - p)^2 + q$, $q > 0$ ekanini ko'rsatasiz.

🟢 Botiqlik va egilish nuqtasi

🔵 Kub funksiya $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$, uning diskriminanti $4(b^2 - 3ac)$:

• Egilish nuqtasi har doim: $x = -\dfrac{b}{3a}$