Aylana

⭐ — imtihonda eng ko'p ishlatiladigan formulalar. · 🟢 — masalani tezlashtiradi · 🟡 — ilg'or daraja · 🔵 — chuqur o'rganish (olimpiada darajasi)

Aylana

• Markazi koordinata boshida bo'lgan aylana: $x^2 + y^2 = r^2$
• Markazi $(a,\ b)$ bo'lgan aylana: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Aylana tenglamasining yoyilgan shakli

$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$

• Markazi: $(-g,\ -f)$
• Radiusi: $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$

Misol: $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ da $g = -3$, $f = 2$, $c = -12$. Markazi $(3, -2)$, radiusi $r = \sqrt{9 + 4 + 12} = 5$. Yoki to'la kvadratga keltiring: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$.

Aylananing geometrik xossalari

• ⭐ Urinma radiusga perpendikulyar: $m_{\text{urinma}} = -\dfrac{1}{m_{\text{radius}}}$. Urinma tenglamasini $y - y_1 = m_{\text{urinma}}(x - x_1)$ dan topasiz.
• Markazdan vatarga tushirilgan perpendikulyar vatarni teng ikkiga bo'ladi. Shuning uchun vatarning o'rta perpendikulyari markazdan o'tadi.
• Yarim aylanaga tiralgan burchak $90°$. $AB$ diametr bo'lsa, aylanadagi har qanday $P$ nuqta uchun $m_{PA} \cdot m_{PB} = -1$.
• Uch nuqtadan o'tuvchi aylananing markazi ikki vatar o'rta perpendikulyarlarining kesishish nuqtasida yotadi.

Nuqta va aylana

$(a, b)$ markazli, $r$ radiusli aylana va $(x_0, y_0)$ nuqta uchun:

🟢 Tezkor tenglamalar

$S \equiv x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$, markaz $C(-g, -f)$, radius $r$.

• Diametri $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ bo'lgan aylana: $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
• $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ ning $(x_1, y_1)$ nuqtasidagi urinmasi: $(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$
• 🔵 Umumiy shakldagi urinma: $x x_1 + y y_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$

🟢 Vatar uzunligi

Markazdan vatargacha masofa $d$ bo'lsa:

$\text{vatar} = 2\sqrt{r^2 - d^2}$

🟢 Chiziq va aylana

Markazdan chiziqqacha masofa $d$:

🔵 Tashqi nuqtadan urinma

• Urinma uzunligi: $\;L = \sqrt{(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 - r^2}$
• $y = mx + k$ chiziq $x^2 + y^2 = r^2$ ga urinishi sharti: $\;k^2 = r^2(1 + m^2)$
• Gradienti $m$ bo'lgan urinmalar: $\;y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$

🟢 Nuqtadan aylanagacha eng qisqa va eng uzoq masofa

$P$ nuqtadan markazgacha masofa $PC$ bo'lsa: eng qisqa $|PC - r|$, eng uzoq $PC + r$.

🟢 Ikki aylananing o'zaro joylashuvi

Markazlar orasidagi masofa $d$:

🔵 Ikki aylana bilan bog'liq tenglamalar

• Umumiy vatar: $S_1 - S_2 = 0$
• Kesishish nuqtalaridan o'tuvchi aylanalar: $S_1 + \lambda S_2 = 0$
• Ortogonal aylanalar sharti: $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$