Kvadrat tenglamalar

⭐ — imtihonda eng ko'p ishlatiladigan formulalar.

Kvadrat tenglamani yechish $ax^2 + bx + c = 0$

• ⭐ Nol ko'paytma qoidasi: $A \cdot B = 0 \;\Rightarrow\; A = 0$ yoki $B = 0$
• Grafik usul: $y = ax^2 + bx + c$ grafigi $x$ o'qini kesgan nuqtalar — tenglamaning ildizlari (taqribiy).
• To'la kvadratga keltirish: $x^2 + bx + c = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 + c$
• $y = (x - p)^2 + q$ bo'lsa: uchi $(p,\ q)$, simmetriya o'qi $x = p$
• ⭐ Kvadrat formula: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
• ⭐ Diskriminant $D = b^2 - 4ac$:

• Yashirin kvadrat tenglama: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ da $y = x^2$ deb olinadi, natijada $y^2 - 13y + 36 = 0$.

To'la kvadrat — umumiy holat ($a \neq 1$)

Umumiy formulasi:

$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

• Uchi: $\left(-\dfrac{b}{2a},\ c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$
• Simmetriya o'qi: $x = -\dfrac{b}{2a}$
• $a > 0$ bo'lsa, uchi minimum nuqta; $a < 0$ bo'lsa, maksimum nuqta

Misol: $2x^2 - 8x + 3 = 2(x - 2)^2 - 5$. Uchi $(2, -5)$, minimum qiymati $-5$.

Kvadrat uchhadning ishorasi

Boshqa yashirin kvadrat tenglamalar

Tenglama $a\,[f(x)]^2 + b\,f(x) + c = 0$ ko'rinishida bo'lsa, $u = f(x)$ deb oling.

Misol: $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$. $u = \sqrt{x}$ desak, $u^2 - 5u + 6 = 0$, bundan $u = 2$ yoki $u = 3$, ya'ni $x = 4$ yoki $x = 9$. ⚠️ $u = \sqrt{x} \ge 0$ bo'lishi shart, shuning uchun manfiy $u$ chiqsa, uni tashlab yuboring.