Oʻrta qiymat, mediana va moda

⭐ — imtihonda eng ko'p ishlatiladigan formulalar.

O'rta arifmetik

• ⭐ $n$ ta sonning o'rta arifmetigi:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

• ⭐ Yig'indi o'rtacha va sonlar soni orqali topiladi: $S = \bar{x} \cdot n$. Shu orqali "yig'indi qanday o'zgardi" turidagi masalalar yechiladi.
  • Misol: $5$ ta sonning o'rtachasi $12$ edi. Yana bitta son qo'shilganda o'rtacha $14$ bo'ldi. Qo'shilgan son: $14 \cdot 6 - 12 \cdot 5 = 84 - 60 = 24$.
• O'rtacha eng kichik va eng katta son orasida bo'ladi: $x_{\min} \le \bar{x} \le x_{\max}$.
• Har bir songa $c$ qo'shilsa, o'rtacha ham $c$ ga ortadi. Har bir son $k$ marta ko'paytirilsa, o'rtacha ham $k$ marta ko'payadi.

Tortilgan (og'irlikli) o'rtacha

• ⭐ Sonlar har xil marta uchrasa yoki guruhlar har xil katta bo'lsa, har bir qiymat o'z og'irligi ($n_i$) bilan hisoblanadi:

$\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}$

• Misol: $4$ nafar o'quvchi $80$ ball, $6$ nafari $90$ ball oldi. O'rtacha: $\dfrac{4 \cdot 80 + 6 \cdot 90}{4 + 6} = \dfrac{860}{10} = 86$.
• ⚠️ Ikki guruhning o'rtachalarini oddiy o'rtacha qilib bo'lmaydi: $\dfrac{80 + 90}{2} = 85$ — bu xato, guruhlar soni teng bo'lmasa.
• Tortilgan o'rtacha har doim guruh o'rtachalari orasida bo'ladi va katta guruhga yaqinroq.

O'rtacha tezlik

• ⭐ O'rtacha tezlik $=\dfrac{\text{butun yo'l}}{\text{butun vaqt}}$. U tezliklarning o'rta arifmetigi emas.
• Misol: $4$ soat $90$ km/soat, keyin $1$ soat $40$ km/soat: $\dfrac{90 \cdot 4 + 40 \cdot 1}{4 + 1} = \dfrac{400}{5} = 80$ km/soat.
• Ikki teng yo'l qismi $v_1$ va $v_2$ tezlik bilan o'tilsa:

$v_{\text{o'rt}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Masalan, $60$ va $40$ km/soat bo'lsa: $\dfrac{2 \cdot 60 \cdot 40}{100} = 48$ km/soat.

Mediana

• ⭐ Mediana — sonlar o'sish tartibida yozilganda o'rtadagi qiymat. Avval tartiblang!
  • $n$ toq bo'lsa: o'rtadagi son (tartib raqami $\dfrac{n + 1}{2}$). $2, 9, 4, 7, 5 \to 2, 4, 5, 7, 9$: mediana $5$.
  • $n$ juft bo'lsa: ikkita o'rtadagi sonning o'rta arifmetigi. $3, 5, 7, 9$: mediana $\dfrac{5 + 7}{2} = 6$.
• Mediana chetdagi juda katta yoki juda kichik qiymatlarga deyarli sezgir emas, o'rtacha esa sezgir. Masalan, $1, 2, 3, 4, 100$: mediana $3$, o'rtacha $22$.

Moda va kenglik

• ⭐ Moda — qatorda eng ko'p uchraydigan qiymat. Bir nechta moda bo'lishi mumkin ($1, 1, 2, 2, 3$: ikkita moda — $1$ va $2$), hamma qiymat bir xil marta uchrasa moda yo'q.
• Kenglik (o'zgarish oralig'i) $= x_{\max} - x_{\min}$.

Qaysi biri qachon

Tipik xatolar

• ⚠️ Medianani tartiblamasdan olish.
• ⚠️ Juft sonli qatorda medianani bitta o'rtadagi son deb olish.
• ⚠️ O'rtachani guruh kattaliklarini hisobga olmasdan topish.