Algebraik kasrlar

⭐ — imtihonda eng ko'p ishlatiladigan formulalar.

Asosiy tushunchalar

• ⭐ Algebraik kasr — surati va maxraji ifoda bo'lgan kasr: $\dfrac{P}{Q}$. Maxraj $Q \ne 0$ bo'lishi shart: maxrajni nolga aylantiradigan qiymatlar kasr uchun mumkin emas (aniqlanish sohasidan chiqariladi).
• ⭐ Kasrning asosiy xossasi: surat va maxrajni bir xil nolga teng bo'lmagan ifodaga ko'paytirish yoki bo'lish kasrni o'zgartirmaydi:

$\frac{P}{Q} = \frac{P \cdot R}{Q \cdot R} = \frac{P : R}{Q : R} \qquad (R \ne 0)$

Qisqartirish

• ⭐ Avval surat va maxrajni ko'paytuvchilarga ajrating, keyin umumiy ko'paytuvchini qisqartiring.
• Darajalar: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Masalan, $\dfrac{12x^5y^2}{18x^2y^3} = \dfrac{2x^3}{3y}$.
• Qavsdan chiqarish bilan: $\dfrac{6x - 24}{5x - 20} = \dfrac{6(x - 4)}{5(x - 4)} = \dfrac{6}{5}$ $\;(x \ne 4)$.
• Kvadratlar ayirmasi bilan: $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \dfrac{x - 3}{x}$ $\;(x \ne 0,\ x \ne -3)$.
• Ishorani almashtirish: $b - a = -(a - b)$, shuning uchun $\dfrac{a - b}{b - a} = -1$.
• ⚠️ Qo'shiluvchilarni qisqartirib bo'lmaydi, faqat ko'paytuvchilar qisqaradi: $\dfrac{x + 2}{x + 3} \ne \dfrac{2}{3}$.

Ko'paytuvchilarga ajratish formulalari (qisqartirish uchun)

• $ax + ay = a(x + y)$
• $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
• $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
• $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
• Kvadrat uchhad: $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$, bunda $x_1, x_2$ — uning ildizlari.

Qo'shish va ayirish

• ⭐ Maxrajlar bir xil: $\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}$.
• ⚠️ Ayirishda ayriluvchining suratini qavsga oling, aks holda ishoralar xato chiqadi:

$\frac{5x + 1}{x - 2} - \frac{2x - 3}{x - 2} = \frac{5x + 1 - (2x - 3)}{x - 2} = \frac{3x + 4}{x - 2}$

• ⭐ Maxrajlar har xil: avval maxrajlarni ko'paytuvchilarga ajrating, umumiy maxrajga har bir ko'paytuvchini eng katta darajasi bilan kiriting, keyin har bir kasrni yetishmagan ko'paytuvchiga ko'paytiring.
  • $\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{3x + 1}{x^2}$
  • $\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{(x + 1) + (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{2x}{x^2 - 1}$

Ko'paytirish va bo'lish

• ⭐ $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$. Ko'paytirishdan oldin ko'paytuvchilarga ajratib, qisqartirib oling.
• ⭐ $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$ $\;(c \ne 0)$.
• Darajaga ko'tarish: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$.
• Ko'p qavatli kasr: $\dfrac{\;\frac{a}{b}\;}{\frac{c}{d}} = \dfrac{ad}{bc}$.
• Misol: $\dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \cdot \dfrac{x + 3}{x - 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 3} \cdot \dfrac{x + 3}{x - 2} = x + 2$ $\;(x \ne -3,\ x \ne 2)$.

Tipik xatolar

• ⚠️ $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \ne \dfrac{a + c}{b + d}$ — maxrajlar qo'shilmaydi.
• ⚠️ $\dfrac{a + b}{a} \ne b$ — surat va maxrajdagi umumiy qo'shiluvchini qisqartirib bo'lmaydi.
• ⚠️ Qisqartirgandan keyin ham dastlabki ifodaning aniqlanish sohasi saqlanadi: $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ faqat $x \ne 2$ da.