Занжир қоидаси ва ўзгариш тезликлари

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Занжир қоидаси (chain rule)

• ⭐ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$

Боғланган ўзгариш тезликлари (connected rates of change)

• ⭐ $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \times \frac{dr}{dt}$

Мисол: доира радиуси $\dfrac{dr}{dt} = 0.5$ тезлик билан ўсмоқда. $A = \pi r^2$, $r = 4$ да: $\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r \times 0.5 = 4\pi$.

Занжир қоидасининг тайёр шакли

$\frac{d}{dx}(ax + b)^n = an(ax + b)^{n-1} \qquad \frac{d}{dx}\big[f(x)\big]^n = n\big[f(x)\big]^{n-1} f'(x)$

Мисол: $y = (3x - 1)^4 \;\Rightarrow\; \dfrac{dy}{dx} = 4 \cdot 3\,(3x - 1)^3 = 12(3x - 1)^3$

🟢 Тақрибий ҳисоблаш

$\delta y \approx \frac{dy}{dx}\,\delta x$

🔵 Фоиз хатолик

$y = kx^n$ бўлса:

$\frac{\delta y}{y} \approx n\,\frac{\delta x}{x}$

Мисол: шар радиуси $1\%$ га ошса, ҳажми ($V \propto r^3$) тахминан $3\%$ га ошади.

🟢 Кинематика (механика билан боғлиқ)

$v = \frac{ds}{dt} \qquad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$

• Жисм тўхтайди: $v = 0$; энг катта тезлик: $a = 0$.

🟡 Занжир қоидасининг умумий шакллари

$\frac{d}{dx}e^{f(x)} = f'(x)\,e^{f(x)} \qquad \frac{d}{dx}\ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \qquad \frac{d}{dx}\sin f(x) = f'(x)\cos f(x)$

🟡 Ошкормас ва параметрик дифференциаллаш

• Ошкормас: $\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y\,\dfrac{dy}{dx}$, $\quad \dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\,\dfrac{dy}{dx}$
• Параметрик ($x = x(t)$, $y = y(t)$): $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$