Чизиқ ва текислик векторлар билан

🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Тўғри чизиқнинг вектор тенгламаси

$A$ нуқтадан ўтувчи, $\mathbf{d}$ йўналишли чизиқ: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\,\mathbf{d}$

• Икки чизиқ орасидаги бурчак — йўналиш векторлари орасидаги бурчак.
• Кесишиш: $\mathbf{a}_1 + s\,\mathbf{d}_1 = \mathbf{a}_2 + t\,\mathbf{d}_2$ дан учта тенглама тузиб, $s$ ва $t$ ни топасиз. Учинчи тенглама ҳам бажарилса, чизиқлар кесишади; бажарилмаса ва параллел ҳам бўлмаса — айқаш (skew).

Нуқтадан чизиққача перпендикуляр асоси

$P$ нуқта ва $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\,\mathbf{d}$ чизиқ учун асос $N$ қуйидаги шартдан топилади: $\overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d} = 0$

🟡 Декарт шакли

$\mathbf{r} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix}$ чизиқнинг Декарт тенгламаси:

$\frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n}$

🟡 Нуқтанинг чизиққа нисбатан акси

$N$ — $P$ дан чизиққа туширилган перпендикуляр асоси бўлса:

$\mathbf{p}' = 2\mathbf{n} - \mathbf{p}$

🔵 Нуқтадан чизиққача масофа

$A$ чизиқдаги нуқта, $\mathbf{d}$ йўналиш вектори бўлса:

$d = \frac{|\overrightarrow{AP}\times\mathbf{d}|}{|\mathbf{d}|}$

🔵 Айқаш чизиқлар орасидаги энг қисқа масофа

$d = \frac{|(\mathbf{b} - \mathbf{a})\cdot(\mathbf{d}_1\times\mathbf{d}_2)|}{|\mathbf{d}_1\times\mathbf{d}_2|}$

🔵 Текислик тенгламаси

$\mathbf{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ — нормал вектор:

$\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = d \qquad ax + by + cz = d$

🔵 Масофа ва бурчаклар