Векторлар: асосий амаллар

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Белгилар ва шакллар

• Вектор — катталиги ва йўналиши бор катталик; скаляр — фақат катталиги бор.
• Бирлик векторлар: $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$ — мос равишда $x$, $y$, $z$ йўналишларида.
• Компонентли шакл: $\mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \qquad \mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
• Катталик-йўналиш шакли (2D): $(r, \theta)$. Ўтказиш:
  • $(r, \theta) \to$ компонентлар: $x = r\cos\theta$, $\;y = r\sin\theta$
  • компонентлар $\to (r, \theta)$: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, $\;\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ (чоракни расм билан текширинг)

Асосий формулалар

• ⭐ Вектор узунлиги (модули): $|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad |\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
• Тенг векторлар: узунлиги ва йўналиши бир хил, яъни барча компонентлари тенг.
• Нуқтанинг радиус-вектори (поситион vector): $\overrightarrow{OP} = \mathbf{p}$
• Амаллар компонентлар бўйича бажарилади: $k\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \end{pmatrix}$
  • $k\mathbf{a}$ — $\mathbf{a}$ га параллел, узунлиги $|k|$ марта; $-\mathbf{a}$ — тескари йўналишда.
  • Векторлар йиғиндиси — натижавий вектор (ресултант): $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• ⭐ $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$
• ⭐ Бирлик вектор: $\hat{\mathbf{a}} = \dfrac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$

Мисол: $\mathbf{a} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ бўлса, $|\mathbf{a}| = 5$, $\hat{\mathbf{a}} = \frac{3}{5}\mathbf{i} + \frac{4}{5}\mathbf{j}$.

Параллел векторлар ва бир чизиқдаги нуқталар

• $\mathbf{a}$ ва $\mathbf{b}$ параллел ⇔ $\mathbf{a} = k\mathbf{b}$ ($k$ — сон)
• $A$, $B$, $C$ бир чизиқда ⇔ $\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{BC}$

Ўрта нуқта ва масофа

• Кесма ўрта нуқтасининг радиус-вектори: $\mathbf{m} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$
• Икки нуқта орасидаги масофа: $AB = |\mathbf{b} - \mathbf{a}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

🟢 Кесмани $m : n$ нисбатда бўлувчи нуқта

$\mathbf{p} = \frac{n\,\mathbf{a} + m\,\mathbf{b}}{m + n}$

🟢 Учбурчакнинг оғирлик маркази

$\mathbf{g} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}}{3}$

🟢 Чизиқли боғлиқмаслик

$\mathbf{a}$ ва $\mathbf{b}$ нолга тенг эмас ва параллел эмас бўлса:

$\lambda\mathbf{a} + \mu\mathbf{b} = \lambda'\mathbf{a} + \mu'\mathbf{b} \;\Rightarrow\; \lambda = \lambda',\; \mu = \mu'$

Геометрик исботларда коэффициентларни тенглаштиришга имкон беради.

🟢 Йўналиш бурчаги (2D)

$\mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$ нинг $x$ ўқи билан бурчаги: $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$