Ўсиш, экстремумлар ва график шакли📈 Графикда кўриш

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Ўсувчи ва камаювчи функциялар

• $\dfrac{dy}{dx} > 0$ — функция ўсувчи
• $\dfrac{dy}{dx} < 0$ — функция камаювчи

Барча $x$ учун $\dfrac{dy}{dx} > 0$ бўлса, функция "ўсувчи функция" дейилади. Масалан, $y = x^3 + x$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 1 > 0$.

Стационар нуқталар

• ⭐ Стационар нуқтада: $\dfrac{dy}{dx} = 0$
• ⭐ Иккинчи ҳосила орқали текшириш:

• Градиэнт ишораси орқали текшириш:

Барча $x$ учун ўсувчи эканини исботлаш

• Барча $x$ учун ўсувчи ⇔ барча $x$ учун $f'(x) \ge 0$ (ёки $> 0$)
• $f'(x)$ квадрат учҳад бўлса: бош коэффициент мусбат ва $D < 0$, ёки тўла квадратга келтириб $f'(x) = a(x - p)^2 + q$, $q > 0$ эканини кўрсатасиз.

🟢 Ботиқлик ва эгилиш нуқтаси

🔵 Куб функция $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$, унинг дискриминанти $4(b^2 - 3ac)$:

• Эгилиш нуқтаси ҳар доим: $x = -\dfrac{b}{3a}$