Интеграллаш асослари📈 Графикда кўриш

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Интеграллаш — дифференциаллашнинг тескариси

• ⭐ $\dfrac{dy}{dx} = x^n \;\Rightarrow\; y = \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} + c \qquad (n \neq -1)$. Бу $n$ манфий ёки каср бўлганда ҳам ишлайди.
• ⭐ $+\,c$ (интеграллаш ўзгармаси) ҳар доим ёзилади. Эгри чизиқдаги битта нуқта $(x_0, y_0)$ берилса, уни қўйиб $c$ топилади.
• Қоидалар: $\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx \qquad \int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

⚠️ Кўпайтма ёки бўлинмани тўғридан-тўғри интеграллаб бўлмайди. Аввал қавсларни очинг ёки бўлиб чиқинг: $\displaystyle\int \frac{x^2 + 1}{x^2}\,dx = \int (1 + x^{-2})\,dx$

Тескари занжир қоидаси

• ⭐ $\int (ax + b)^n\,dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + c \qquad (n \neq -1)$

🟢 Интеграл орқали

$s = \int v\,dt \qquad v = \int a\,dt$

• Кўчиш: $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v\,dt$
• Босиб ўтилган йўл: $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v|\,dt$ — $v$ ишораси ўзгарса, бўлакларга ажратинг.

🟡 Стандарт интеграллар

🟡 Тескари занжир қоидасининг умумий шакллари

$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x) \rvert + c \qquad \int f'(x)\,[f(x)]^n\,dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n + 1} + c$

🟡 Бўлаклаб интеграллаш

$\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$