Ҳосила ва дифференциаллаш қоидалари📈 Графикда кўриш

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Ҳосила тушунчаси

• Эгри чизиқнинг нуқтадаги градиэнти = шу нуқтадаги уринманинг градиэнти. Уни нуқтага тобора яқинлашувчи ватарлар градиэнтлари орқали топиш мумкин.
• Биринчи тамойиллардан (first principles): $\frac{dy}{dx} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta y}{\delta x}$
• Белгилаш: биринчи ҳосила $\dfrac{dy}{dx}$ ёки $f'(x)$; иккинчи ҳосила $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ ёки $f''(x)$.

Стандарт натижалар ($k$, $n$, $c$ — ўзгармаслар)

• ⭐ $y = kx^n \;\Rightarrow\; \dfrac{dy}{dx} = knx^{n-1}$ ($n$ — исталган сон: манфий ёки каср ҳам)
• $y = c \;\Rightarrow\; \dfrac{dy}{dx} = 0$
• ⭐ Йиғинди: $y = f(x) + g(x) \;\Rightarrow\; \dfrac{dy}{dx} = f'(x) + g'(x)$
• ⭐ Дифференциаллашдан олдин илдиз ва касрларни даража шаклига келтиринг: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \qquad \frac{1}{x} = x^{-1} \qquad \frac{k}{x^n} = kx^{-n} \qquad \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$
• Кўпайтма ёки бўлинма бўлса, аввал қавсларни очинг ёки бўлиб чиқинг: $(x + 1)(x - 5) = x^2 - 4x - 5$.

🟢 Бошқа шакл

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Мисол: $f(x) = x^2$ учун $\dfrac{(x + h)^2 - x^2}{h} = 2x + h \to 2x$.

🟢 Тескари ҳосила

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;}$

🔵 Юқори тартибли ҳосилалар

• $x^n$ нинг $n$-ҳосиласи: $n!$; $(n+1)$-ҳосиласи: $0$
• $n$-даражали кўпҳаднинг $(n + 1)$-ҳосиласи нолга тенг.

🟡 Қоидалар

$\text{Кўпайтма: } (uv)' = u'v + uv' \qquad \text{Бўлинма: } \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

🟡 Стандарт ҳосилалар