ЭКУБ ва ЭКУК

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар.

Таърифлар

• ⭐ ЭКУБ (энг катта умумий бўлувчи) — берилган сонларнинг ҳаммасини бўладиган энг катта натурал сон.
• ⭐ ЭКУК (энг кичик умумий каррали) — берилган сонларнинг ҳаммасига бўлинадиган энг кичик натурал сон.
• Агар $\text{ЭКУБ}(a, b) = 1$ бўлса, $a$ ва $b$ ўзаро туб. Масалан, $\text{ЭКУБ}(8, 15) = 1$.

Туб кўпайтувчиларга ажратиш усули

Сонларни туб кўпайтувчиларга ажратамиз:

• ⭐ ЭКУБ — умумий туб кўпайтувчиларнинг энг кичик даражалари кўпайтмаси.
• ⭐ ЭКУК — барча туб кўпайтувчиларнинг энг катта даражалари кўпайтмаси.

Мисол. $36 = 2^2 \cdot 3^2$ ва $48 = 2^4 \cdot 3$.

$\text{ЭКУБ}(36, 48) = 2^2 \cdot 3 = 12 \qquad \text{ЭКУК}(36, 48) = 2^4 \cdot 3^2 = 144$

Муҳим боғланиш

• ⭐ Икки сон учун: $\text{ЭКУБ}(a, b) \cdot \text{ЭКУК}(a, b) = a \cdot b$
• Текшириш: $12 \cdot 144 = 1\,728 = 36 \cdot 48$ ✓
• Бу боғланиш фақат икки сон учун тўғри; учта сонда ишламайди.

Эвклид алгоритми (ЭКУБ учун)

$a$ ни $b$ га қолдиқли бўламиз, кейин $b$ ни қолдиққа, шу тарзда қолдиқ нол бўлгунча. Охирги нолдан фарқли қолдиқ — ЭКУБ.

• $\text{ЭКУБ}(a, b) = \text{ЭКУБ}(b, r)$, бунда $r$ — $a$ ни $b$ га бўлгандаги қолдиқ.
• Мисол: $\text{ЭКУБ}(84, 36)$: $84 = 2 \cdot 36 + 12$, $\; 36 = 3 \cdot 12 + 0$. Жавоб: $12$.

Қўлланилиши

• Касрни қисқартириш: сурат ва махражни уларнинг ЭКУБига бўламиз.
• Касрларни қўшиш: умумий махраж сифатида махражларнинг ЭКУКини оламиз.
• "Неча кундан кейин яна бирга учрашади" каби масалалар ЭКУК, "энг кўпи билан неча қисмга тенг бўлиш" кабилар ЭКУБ орқали ечилади.