Эҳтимоллик

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар.

Классик таъриф

• ⭐ Ҳодиса $A$ нинг эҳтимоли (барча натижалар тенг имкониятли бўлса):

$P(A) = \frac{m}{n}$

бунда $n$ — барча мумкин бўлган натижалар сони, $m$ — $A$ учун қулай натижалар сони.

• ⭐ $0 \le P(A) \le 1$. Мумкин бўлмаган ҳодиса учун $P = 0$, муқаррар ҳодиса учун $P = 1$. Жавоб $1$ дан катта ёки манфий чиқса — хато.
• ⚠️ Натижалар тенг имкониятли бўлсин. Иккита танга ташланганда "герб–рақам" ва "рақам–герб" алоҳида натижалар: жами $4$ та ($GG, GR, RG, RR$), $3$ та эмас.

Қарама-қарши ҳодиса

• ⭐ $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
• ⭐ "Камида биттаси" ҳодисаси учун: $P = 1 - P(\text{бирортаси ҳам})$. Масалан, танга $4$ марта ташланганда камида бир марта рақам тушиши: $1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16}$.

Қўшиш ва кўпайтириш қоидалари

• ⭐ Биргаликда бўлмаган ("ёки") ҳодисалар: $P(A \text{ ёки } B) = P(A) + P(B)$.
• Биргаликда бўлиши мумкин бўлганда: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• ⭐ Мустақил ("ва") ҳодисалар: $P(A \text{ ва } B) = P(A) \cdot P(B)$.
  • Мисол: нишонга текказиш эҳтимоли ҳар отишда $\dfrac{3}{5}$. Иккала отишда ҳам тегиш: $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$. Камида биттасида тегиш: $1 - \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{21}{25}$.
  • Айнан биттасида тегиш: $2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{25}$.
• Боғлиқ ҳодисалар (масалан, шар қайтарилмайди): $P(A \text{ ва } B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$, бунда $P(B \mid A)$ — $A$ рўй берган бўлса, $B$ нинг эҳтимоли. Қопда $3$ қизил ва $2$ кўк шар: кетма-кет иккаласи қизил: $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$.

Комбинаторика ёрдамида

• Гуруҳ танлаш ("бир вақтда $k$ та олинди"): $P = \dfrac{C_m^{k}}{C_n^{k}}$ кўринишида. Масалан, $10$ та шарда $4$ таси қизил, $2$ та олинса иккаласи қизил: $\dfrac{C_4^2}{C_{10}^2} = \dfrac{6}{45} = \dfrac{2}{15}$.
• Бу усул қайтармасдан кетма-кет олишга тенг: юқоридаги мисол $\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{2}{15}$.

Тез-тез учрайдиган ҳолатлар

• ⭐ Танга $n$ марта: барча натижалар $2^n$. Айнан $k$ марта герб: $\dfrac{C_n^k}{2^n}$. Масалан, $5$ марта, айнан $2$ герб: $\dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16}$.
• ⭐ Икки кубик (барча натижалар $6 \cdot 6 = 36$). Йиғинди бўйича қулай натижалар:

Масалан, йиғинди $7$ бўлиш эҳтимоли $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$. Бир кубик: жуфт очко — $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

• Бернулли схемаси: ҳар уринишда муваффақият эҳтимоли $p$ ($q = 1 - p$) бўлса, $n$ та уринишда айнан $k$ та муваффақият:

$P_n(k) = C_n^k \, p^k q^{\,n - k}$

Масалан, $p = \dfrac{1}{3}$, $n = 3$, $k = 2$: $3 \cdot \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}$.

Геометрик эҳтимоллик

• Натижалар кесма, юза ёки ҳажмдаги нуқта бўлса: $P = \dfrac{\text{қулай қисмнинг ўлчами}}{\text{бутун ўлчам}}$. Масалан, томони $2$ бўлган квадратга тасодифий нуқта ташланса, унга ички чизилган бирлик доирага тушиш эҳтимоли $\dfrac{\pi \cdot 1^2}{2^2} = \dfrac{\pi}{4}$.

Типик хатолар

• ⚠️ Эҳтимолларни қўшиш керак жойда кўпайтириш (ва аксинча): "ва" — кўпайтиринг, "ёки" — қўшинг.
• ⚠️ Кубикларни "бир хил" деб ҳисоблаш: $(1, 2)$ ва $(2, 1)$ икки хил натижа.
• ⚠️ "Камида битта"ни тўғридан-тўғри санаш; қарама-қарши ҳодисадан фойдаланиш анча осон.
• ⚠️ Қайтариб олиш ва қайтармасдан олишни аралаштириш: иккинчи ҳолда шар сони камаяди.