Айланиш жисмларининг ҳажми

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Айланиш жисмининг ҳажми

• ⭐ $x$ ўқи атрофида: $\displaystyle V = \int_a^b \pi y^2\,dx$ (жисмни қалинлиги $\delta x$ бўлган дискларга бўламиз: $\delta V = \pi y^2\,\delta x$)
• ⭐ $y$ ўқи атрофида: $\displaystyle V = \int_p^q \pi x^2\,dy$

Мисол: $y = x$, $0 \le x \le 1$, $x$ ўқи атрофида: $V = \pi\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \frac{\pi}{3}$ (конус ҳажми).

Икки эгри чизиқ орасидаги соҳа айлантирилганда ҳажм

$V = \pi \int_a^b \big(y_1^2 - y_2^2\big)\,dx \qquad (y_1 \text{ — ташқи}, \; y_2 \text{ — ички})$

⚠️ $\pi\displaystyle\int (y_1 - y_2)^2\,dx$ нотўғри! Аввал квадратлаб, кейин айиринг.

🟢 Бошқа ўқ атрофида айлантириш

$y = k \text{ атрофида: } V = \pi\int_a^b (y - k)^2\,dx \qquad x = h \text{ атрофида: } V = \pi\int_p^q (x - h)^2\,dy$

🟢 Икки эгри чизиқ орасидаги соҳа (ҳалқа усули)

$V = \pi\int_a^b \left(y_{\text{ташқи}}^2 - y_{\text{ички}}^2\right)dx$

🔵 Цилиндрик қобиқ усули ($y$ ўқи атрофида)

$V = 2\pi\int_a^b x\,y\,dx$

🟢 Интеграл орқали келтириб чиқариладиган ҳажмлар