Айлана

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Айлана

• Маркази координата бошида бўлган айлана: $x^2 + y^2 = r^2$
• Маркази $(a,\ b)$ бўлган айлана: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

Айлана тенгламасининг ёйилган шакли

$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$

• Маркази: $(-g,\ -f)$
• Радиуси: $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$

Мисол: $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ да $g = -3$, $f = 2$, $c = -12$. Маркази $(3, -2)$, радиуси $r = \sqrt{9 + 4 + 12} = 5$. Ёки тўла квадратга келтиринг: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$.

Айлананинг геометрик хоссалари

• ⭐ Уринма радиусга перпендикуляр: $m_{\text{уринма}} = -\dfrac{1}{m_{\text{радиус}}}$. Уринма тенгламасини $y - y_1 = m_{\text{уринма}}(x - x_1)$ дан топасиз.
• Марказдан ватарга туширилган перпендикуляр ватарни тенг иккига бўлади. Шунинг учун ватарнинг ўрта перпендикуляри марказдан ўтади.
• Ярим айланага тиралган бурчак $90°$. $AB$ диаметр бўлса, айланадаги ҳар қандай $P$ нуқта учун $m_{PA} \cdot m_{PB} = -1$.
• Уч нуқтадан ўтувчи айлананинг маркази икки ватар ўрта перпендикулярларининг кесишиш нуқтасида ётади.

Нуқта ва айлана

$(a, b)$ марказли, $r$ радиусли айлана ва $(x_0, y_0)$ нуқта учун:

🟢 Тезкор тенгламалар

$S \equiv x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$, марказ $C(-g, -f)$, радиус $r$.

• Диаметри $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ бўлган айлана: $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
• $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ нинг $(x_1, y_1)$ нуқтасидаги уринмаси: $(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$
• 🔵 Умумий шаклдаги уринма: $x x_1 + y y_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$

🟢 Ватар узунлиги

Марказдан ватаргача масофа $d$ бўлса:

$\text{ватар} = 2\sqrt{r^2 - d^2}$

🟢 Чизиқ ва айлана

Марказдан чизиққача масофа $d$:

🔵 Ташқи нуқтадан уринма

• Уринма узунлиги: $\;L = \sqrt{(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 - r^2}$
• $y = mx + k$ чизиқ $x^2 + y^2 = r^2$ га уриниши шарти: $\;k^2 = r^2(1 + m^2)$
• Градиэнти $m$ бўлган уринмалар: $\;y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$

🟢 Нуқтадан айланагача энг қисқа ва энг узоқ масофа

$P$ нуқтадан марказгача масофа $PC$ бўлса: энг қисқа $|PC - r|$, энг узоқ $PC + r$.

🟢 Икки айлананинг ўзаро жойлашуви

Марказлар орасидаги масофа $d$:

🔵 Икки айлана билан боғлиқ тенгламалар

• Умумий ватар: $S_1 - S_2 = 0$
• Кесишиш нуқталаридан ўтувчи айланалар: $S_1 + \lambda S_2 = 0$
• Ортогонал айланалар шарти: $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$