Аниқ интеграл ва юза📈 Графикда кўриш

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Аниқ интеграл ва юза

• Эгри чизиқ остидаги юза $A$ учун $\dfrac{dA}{dx} = y$. Шунинг учун юза интеграллаш орқали топилади.
• Юза — ингичка тўғри тўртбурчаклар йиғиндисининг лимити: $A = \lim_{\delta x \to 0} \sum y\,\delta x = \int_a^b y\,dx$
• ⭐ Аниқ интеграл: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$, бу ерда $F'(x) = f(x)$.
• Чегараларни алмаштирсангиз, ишораси ўзгаради: $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$
• ⭐ Эгри чизиқ ва $x$ ўқи орасидаги юза: $\displaystyle A = \int_a^b y\,dx$
• ⭐ $x$ ўқидан пастдаги юза учун интеграл манфий чиқади. Соҳа ўқнинг икки томонида бўлса, интегрални илдизлар бўйича бўлиб ҳисобланг: $A = \left|\int_a^p f(x)\,dx\right| + \left|\int_p^b f(x)\,dx\right| \qquad (f(p) = 0)$
• ⭐ Икки эгри чизиқ орасидаги юза (юқоридагидан пастдагини айирасиз): $A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$ Чегаралар $a$, $b$ — эгри чизиқлар кесишган нуқталар: $f(x) = g(x)$ ни ечасиз.
• Эгри чизиқ ва $y$ ўқи орасидаги юза: $\displaystyle A = \int_p^q x\,dy$

Хосмас интеграллар (импропер)

• Чегара чексиз бўлса, лимит орқали ҳисобланади: $\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx$
• Функция чегарада аниқланмаган бўлса ҳам лимит олинади: $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{a \to 0}\int_a^1 x^{-\frac{1}{2}}\,dx = \lim_{a \to 0}\big(2 - 2\sqrt{a}\big) = 2$

🟢 Асосий хоссалар

$\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx \qquad \int_a^a f(x)\,dx = 0$

🟢 Симметрик чегаралар

$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0 \;\;(f \text{ тоқ}) \qquad \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx \;\;(f \text{ жуфт})$

Мисол: $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 5x)\,dx = 0$ — ҳисобламасдан.

🟡 Функциянинг ўртача қиймати

$\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$

🔵 Интеграл — йиғиндининг лимити

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\delta x \to 0}\sum f(x_i)\,\delta x$

🟢 Параболик сегмент юзи

$y = a(x - \alpha)(x - \beta)$ ва $x$ ўқи орасидаги юза:

$S = \frac{|a|\,(\beta - \alpha)^3}{6}$

Шу формула парабола $y = ax^2 + \dots$ ва исталган тўғри чизиқ орасидаги юза учун ҳам ишлайди: $\alpha$, $\beta$ — кесишиш нуқталарининг $x$ координаталари. Мисол: $y = x^2$ ва $y = 4$ орасида: $\alpha = -2$, $\beta = 2$, $S = \dfrac{1 \cdot 4^3}{6} = \dfrac{32}{3}$ ✓

🟢 Бирлик квадратдаги юзалар

$\int_0^1 x^n\,dx = \frac{1}{n + 1}$

Масалан, $y = x^2$ бирлик квадратни $\frac{1}{3}$ ва $\frac{2}{3}$ га бўлади.

🟢 Даражали функциялар учун

$\int_1^\infty \frac{dx}{x^n} = \frac{1}{n - 1} \;\;(n > 1) \qquad \int_0^1 \frac{dx}{x^n} = \frac{1}{1 - n} \;\;(n < 1)$

$n \le 1$ бўлса биринчиси, $n \ge 1$ бўлса иккинчиси узоқлашади (чексиз).

🔵 Эгри чизиқ узунлиги

$L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$