Вектор кўпайтма

🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

🔵 Таъриф

$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}, \qquad |\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$

• $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ иккала векторга перпендикуляр.
• $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\,\mathbf{b}\times\mathbf{a}$; $\;\mathbf{a}\times\mathbf{a} = \mathbf{0}$

🔵 Юзалар

$\text{параллелограмм: } S = |\mathbf{a}\times\mathbf{b}| \qquad \text{учбурчак: } S = \tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$

🔵 Аралаш кўпайтма ва ҳажмлар

$V_{\text{параллелепипед}} = |\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})| \qquad V_{\text{тетраэдр}} = \tfrac{1}{6}|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|$

• $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = 0$ ⇔ учта вектор бир текисликда ётади.