Туб сонлар ва туб кўпайтувчилар

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар.

Туб ва мураккаб сонлар

• ⭐ Туб сон — фақат иккита бўлувчиси бор натурал сон: $1$ ва ўзи. Мураккаб сон — иккитадан ортиқ бўлувчиси бор сон.
• ⭐ $1$ — туб ҳам, мураккаб ҳам эмас. $2$ — ягона жуфт туб сон.
• Туб сонлар чексиз кўп.
• $100$ гача туб сонлар ($25$ та): $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97$.

Туб эканини текшириш

• ⭐ $n$ сонни $\sqrt{n}$ дан ошмайдиган туб сонларга бўлиб кўрамиз. Бирортасига бўлинмаса, $n$ туб.
• Мисол: $97$ учун $\sqrt{97} < 10$, яъни $2, 3, 5, 7$ га текширилади. Ҳеч бирига бўлинмайди, демак $97$ туб.
• Эратосфен ғалвири: $2$ дан бошлаб сонларни ёзиб, ҳар бир туб соннинг карралиларини ўчириб борилади; қолганлари туб.

Туб кўпайтувчиларга ажратиш

• ⭐ Арифметиканинг асосий теоремаси: ҳар бир $1$ дан катта натурал сон туб кўпайтувчилар кўпайтмаси кўринишида (уларнинг тартиби аниқлигида) ягона усулда ёзилади.
• Усул: энг кичик туб сонга кетма-кет бўлиб борилади. Масалан, $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$.
• Кўриниш: $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ (каноник ёйилма).

Бўлувчилар

• ⭐ Бўлувчилар сони: $(a_1 + 1)(a_2 + 1)\cdots(a_k + 1)$. Масалан, $72 = 2^3 \cdot 3^2$ нинг бўлувчилари $(3 + 1)(2 + 1) = 12$ та.
• ⭐ Бўлувчилар йиғиндиси: $\dfrac{p_1^{a_1 + 1} - 1}{p_1 - 1} \cdot \dfrac{p_2^{a_2 + 1} - 1}{p_2 - 1} \cdots$. Масалан, $72$ учун $\dfrac{2^4 - 1}{2 - 1} \cdot \dfrac{3^3 - 1}{3 - 1} = 15 \cdot 13 = 195$.
• Фақат тўлиқ квадрат соннинг бўлувчилари сони тоқ бўлади (барча $a_i$ жуфт).

ЭКУБ ва ЭКУК билан боғлиқлик

• Икки соннинг ЭКУБи — умумий туб кўпайтувчиларнинг энг кичик даражалари кўпайтмаси, ЭКУКи — ҳаммасининг энг катта даражалари кўпайтмаси.
• Икки сон ўзаро туб: умумий туб кўпайтувчиси йўқ ($\text{ЭКУБ} = 1$), гарчи уларнинг ўзлари туб бўлмаса ҳам. Масалан, $8$ ва $15$.