Скаляр кўпайтма

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Скаляр кўпайтма ва бурчак

• ⭐ Скаляр кўпайтма: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \;(\text{2D}) \qquad \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \;(\text{3D})$
• ⭐ Икки вектор орасидаги бурчак: $\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}$
• ⭐ Перпендикуляр векторлар: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$

Скаляр кўпайтма хоссалари

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} \qquad \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{a}\cdot\mathbf{c} \qquad \mathbf{a}\cdot\mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$

🟢 Узунлик ва кўпайтма

$|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + 2\,\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + |\mathbf{b}|^2$

Бу вектор шаклидаги косинуслар теоремаси.

🔵 Тенгсизликлар

$|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}| \;\;\text{(Коши–Буняковский)} \qquad |\mathbf{a} + \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| \;\;\text{(учбурчак)}$

🟡 Проекциялар

$\text{скаляр проекция: } \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \qquad \text{вектор проекция: } \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}$

🔵 Йўналиш косинуслари

$\mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ учун:

$\cos\alpha = \frac{x}{|\mathbf{a}|} \quad \cos\beta = \frac{y}{|\mathbf{a}|} \quad \cos\gamma = \frac{z}{|\mathbf{a}|} \qquad \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$

💡 AI билан боғлиқлик

Бурчак формуласи $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}$ — бу айнан cosine симиларитй. Матн эмбеддинглари ўртасидаги ўхшашлик шу формула билан ўлчанади.