Арифметик ва геометрик прогрессия

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Белгилар

• Кетма-кетлик — тартибланган сонлар: $u_1, u_2, u_3, \dots, u_k, \dots$ ($u_k$ — умумий ҳад). Қатор — кетма-кетлик ҳадларининг йиғиндиси.
• Йиғинди белгиси: $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} u_k = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5$

Арифметик прогрессия (A.P.)

Белгилар: $a$ — биринчи ҳад, $d$ — айирма, $n$ — ҳадлар сони, $l$ — охирги ҳад.

• Кейинги ҳад: $u_{k+1} = u_k + d$
• ⭐ $k$-ҳад: $u_k = a + (k - 1)d$, охирги ҳад эса $l = a + (n - 1)d$
• Ҳадлар сони: $n = \dfrac{l - a}{d} + 1$
• ⭐ Йиғинди: $S_n = \tfrac{1}{2}n\,[2a + (n - 1)d] = \tfrac{1}{2}n\,(a + l)$

Учта кетма-кет ҳад шарти

$a, b, c$ кетма-кет ҳадлар бўлса:

Йиғиндидан ҳадни топиш

$u_n = S_n - S_{n-1}$

🟢 Қоидалар

$\sum_{k=1}^{n}(a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k \qquad \sum_{k=1}^{n} c\,a_k = c\sum_{k=1}^{n} a_k \qquad \sum_{k=1}^{n} c = nc$

$\sum_{k=m}^{n} u_k = S_n - S_{m-1}$

🔵 Стандарт йиғиндилар

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

• Биринчи $n$ та тоқ сон йиғиндиси: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$
• Биринчи $n$ та жуфт сон йиғиндиси: $2 + 4 + \dots + 2n = n(n + 1)$

🟢 $S_n$ — $n$ га нисбатан квадрат функция

$S_n = \frac{d}{2}\,n^2 + \left(a - \frac{d}{2}\right)n$

Натижа: $S_n = pn^2 + qn$ кўринишида берилса, $d = 2p$ ва $a = p + q$.

🟢 Ҳадлар хоссаси

• $m + n = p + q$ бўлса: $u_m + u_n = u_p + u_q$
• Биринчи ва охиргидан тенг узоқликдаги ҳадлар йиғиндиси бир хил: $u_1 + u_n = u_2 + u_{n-1} = \dots$

🟢 Қулай белгилашлар

• Учта кетма-кет ҳад: $a - d,\ a,\ a + d$ (йиғиндиси $3a$)
• Тўртта кетма-кет ҳад: $a - 3d,\ a - d,\ a + d,\ a + 3d$ (айирма $2d$)

Геометрик прогрессия (G.P.)

Белгилар: $a$ — биринчи ҳад, $r$ — махраж (common ratio).

• Кейинги ҳад: $u_{k+1} = r\,u_k$, яъни $r = \dfrac{u_{k+1}}{u_k}$
• ⭐ $k$-ҳад: $u_k = a r^{k-1}$, охирги ҳад $u_n = a r^{n-1}$
• ⭐ Йиғинди (қаторни $r$ га кўпайтириб, айириш усули билан топилади): $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \qquad (r \neq 1)$

$r > 1$ бўлса биринчиси, $|r| < 1$ бўлса иккинчиси қулайроқ.

• Яқинлашиш: $-1 < r < 1$ бўлса, қатор яқинлашади (convergent). $|r| > 1$ бўлса узоқлашади (дивергент), $r = -1$ бўлса тебранади.
• ⭐ Чексиз G.P. йиғиндиси ($-1 < r < 1$): $S_\infty = \frac{a}{1 - r}$

Мисол: $8 + 4 + 2 + \dots$ да $a = 8$, $r = \frac{1}{2}$, демак $S_\infty = \dfrac{8}{1 - \frac{1}{2}} = 16$.

• Даврий ўнли каср — чексиз G.P.: $0.\dot{2} = 0.2 + 0.02 + 0.002 + \dots = \dfrac{0.2}{1 - 0.1} = \dfrac{2}{9}$

G.P. бўйича тез-тез сўраладиган шартлар

• "Йиғинди чексиз давом этса ҳам маълум сонга яқинлашади" ⇔ $|r| < 1$
• $S_\infty$ ва $a$ берилса: $r = 1 - \dfrac{a}{S_\infty}$

🟢 Ҳадлар хоссаси ва белгилаш

• $m + n = p + q$ бўлса: $u_m \cdot u_n = u_p \cdot u_q$
• Учта кетма-кет ҳад: $\dfrac{a}{r},\ a,\ ar$ (кўпайтмаси $a^3$)
• Биринчи $n$ та ҳад кўпайтмаси: $a^n\,r^{\frac{n(n-1)}{2}}$

🟢 Даврий ўнли касрлар

$0.\overline{a} = \frac{a}{9} \qquad 0.\overline{ab} = \frac{ab}{99} \qquad 0.\overline{abc} = \frac{abc}{999}$

Сабаб: $0.\overline{45} = 0.45 + 0.0045 + \dots$ — бу $a = 0.45$, $r = 0.01$ бўлган чексиз G.P., $S_\infty = \dfrac{0.45}{0.99} = \dfrac{45}{99}$.

🟢 Мураккаб фоиз ва қадрсизланиш

$A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \qquad A = P\left(1 - \frac{r}{100}\right)^n$

Ҳар йили $r\%$ га ўсиш ёки камайиш — бу махражи $1 \pm \frac{r}{100}$ бўлган G.P.

🟡 Керакли ҳадлар сонини топиш

$S_n > k$ ёки $u_n < k$ шартидан $n$ ни топиш учун логарифм олинади:

$r^n > c \;\Rightarrow\; n > \frac{\ln c}{\ln r} \quad (r > 1)$

⚠️ $0 < r < 1$ бўлса, $\ln r < 0$ — бўлганда тенгсизлик белгиси тескарига ўзгаради.

🔵 Арифметик-геометрик қатор

$|r| < 1$ бўлса:

$\sum_{k=0}^{\infty} (a + kd)\,r^k = \frac{a}{1 - r} + \frac{dr}{(1 - r)^2}$

🟢 Лимит

$|r| < 1$ бўлса, $n \to \infty$ да $r^n \to 0$. Шунинг учун $S_n \to \dfrac{a}{1 - r}$.