Оддий касрлар

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар.

Асосий тушунчалар

• Каср $\dfrac{a}{b}$: $a$ — сурат, $b$ — махраж ($b \ne 0$). Махраж бутун нечта тенг бўлакка бўлинганини, сурат нечтаси олинганини билдиради.
• Тўғри каср: $a < b$ (қиймати $1$ дан кичик). Нотўғри каср: $a \ge b$.
• Аралаш сон ва нотўғри каср:

$a\frac{b}{c} = \frac{ac + b}{c} \qquad \frac{m}{n} = q\frac{r}{n} \;\;(m = nq + r)$

Касрнинг асосий хоссаси

• ⭐ Сурат ва махражни бир хил нолга тенг бўлмаган сонга кўпайтириш ёки бўлиш касрнинг қийматини ўзгартирмайди:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a : k}{b : k}$

• Қисқартириш: сурат ва махражни уларнинг ЭКУБига бўламиз. Масалан, $\dfrac{36}{48} = \dfrac{3}{4}$.

Касрларни таққослаш

• Махражлари бир хил бўлса, сурати катта бўлган каср катта.
• Суратлари бир хил бўлса, махражи кичик бўлган каср катта.
• Умумий ҳолда: $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \iff ad < bc$ ($b, d > 0$).

Амаллар

• ⭐ Қўшиш ва айириш (бир хил махражда): $\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}$
• ⭐ Умумий ҳолда: $\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm bc}{bd}$ (ёки ЭКУК орқали умумий махражга келтирилади).
• ⭐ Кўпайтириш: $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ (аввал қисқартириш мумкин)
• ⭐ Бўлиш: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$
• Бутун сонга кўпайтириш: $n \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{na}{b}$. Бутун сонга бўлиш: $\dfrac{a}{b} : n = \dfrac{a}{bn}$.

Касрни топиш масалалари

• Соннинг $\dfrac{m}{n}$ қисми: $A \cdot \dfrac{m}{n}$. Масалан, $60$ нинг $\dfrac{3}{5}$ қисми $= 36$.
• Қисми маълум бўлса, бутунни топиш: $A : \dfrac{m}{n} = A \cdot \dfrac{n}{m}$. Масалан, қайси соннинг $\dfrac{3}{5}$ қисми $36$: $36 \cdot \dfrac{5}{3} = 60$.
• Тескари сон: $\dfrac{a}{b}$ нинг тескариси $\dfrac{b}{a}$, кўпайтмалари $1$.