Натурал сонлар устида амаллар

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар.

Амаллар тартиби

• ⭐ Аввал қавс ичи, кейин даража, кейин кўпайтириш ва бўлиш (чапдан ўнгга), энг охирида қўшиш ва айириш (чапдан ўнгга).
• Мисол: $8 + 6 \cdot (5 - 2)^2 : 9 = 8 + 6 \cdot 9 : 9 = 8 + 54 : 9 = 8 + 6 = 14$
• Бир хил даражадаги амаллар чапдан ўнгга бажарилади: $24 : 6 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$ ($24 : 12$ эмас).

Амал қонунлари

• Қўшиш ва кўпайтиришнинг ўрин алмаштириш қонуни: $a + b = b + a$, $\quad a \cdot b = b \cdot a$
• Гуруҳлаш қонуни: $(a + b) + c = a + (b + c)$, $\quad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
• ⭐ Тақсимот қонуни: $a(b + c) = ab + ac$, $\quad a(b - c) = ab - ac$
• Айириш ва бўлишда бу қонунлар ишламайди: $7 - 3 \ne 3 - 7$, $\; 8 : 2 \ne 2 : 8$.

Нол ва бир

• $a + 0 = a$, $\quad a - a = 0$, $\quad a \cdot 0 = 0$, $\quad a \cdot 1 = a$
• $a : a = 1$ ($a \ne 0$), $\quad a : 1 = a$, $\quad 0 : a = 0$ ($a \ne 0$)
• ⭐ Нолга бўлиш мумкин эмас.

Қолдиқли бўлиш

• $a = b \cdot q + r$, бунда $0 \le r < b$: $q$ — тўлиқ бўлинма, $r$ — қолдиқ.
• Мисол: $47 = 6 \cdot 7 + 5$, яъни $47 : 6$ да бўлинма $7$, қолдиқ $5$.
• Қолдиқ нол бўлса, $a$ сони $b$ га бўлинади.

Рақамлар орқали ёзув

• Икки хонали сон: $\overline{ab} = 10a + b$
• Уч хонали сон: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$
• Рақамларини тескари ёзиш: $\overline{ab} + \overline{ba} = 11(a + b)$

Тез ҳисоблаш

• $10$, $100$, $1000$ га кўпайтириш: охирига $1$, $2$, $3$ та нол қўшилади.
• $a \cdot 5 = a \cdot 10 : 2$, $\quad a \cdot 25 = a \cdot 100 : 4$
• $a \cdot 9 = a \cdot 10 - a$, $\quad a \cdot 99 = a \cdot 100 - a$
• $a \cdot 11$ (икки хонали $\overline{xy}$ учун, $x + y < 10$ бўлса): $\overline{x\,(x+y)\,y}$. Масалан, $23 \cdot 11 = 253$ (ўртасига $2 + 3 = 5$).
• Йиғиндини қулай гуруҳлаш: $18 + 47 + 32 + 53 = (18 + 32) + (47 + 53) = 50 + 100 = 150$.