Мавзулар

Математика / Тенгламалар ва функциялар

Мураккаб ва тескари функция📈 Графикда кўриш

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Мураккаб функция (composite)

  • ⭐ gf(x)=g(f(x))gf(x) = g\big(f(x)\big) — аввал ff, кейин gg бажарилади. Одатда gf(x)≠fg(x)gf(x) \neq fg(x).
  • ⭐ gfgf мавжуд бўлиши учун ff нинг қийматлар соҳаси gg нинг аниқланиш соҳаси ичида ётиши керак.

Тескари функция

  • ⭐ Тескари функция f−1f^{-1} фақат биттага-битта функция учун мавжуд.
  • Функция биттага-битта бўлмаса, аниқланиш соҳасини чеклаб, биттага-битта қилиш мумкин. Масалан, x2x^2 ни x≥0x \ge 0 да олсак, тескариси x\sqrt{x}. Калкулятордаги sin⁡−1\sin^{-1} ҳам шундай: у фақат −90°-90° дан 90°90° гача бўлган бош қийматни беради.
  • ⭐ f−1f(x)=xf^{-1}f(x) = x ва ff−1(x)=xff^{-1}(x) = x
  • (a,b)(a, b) нуқта ff графигида бўлса, (b,a)(b, a) нуқта f−1f^{-1} графигида. Шунинг учун y=f−1(x)y = f^{-1}(x) графиги y=f(x)y = f(x) графигининг y=xy = x тўғри чизиққа нисбатан акси.
  • ⭐ f−1f^{-1} ни топиш: y=f(x)y = f(x) деб ёзасиз, xx ва yy нинг ўрнини алмаштирасиз, сўнг yy ни ифодалайсиз.
  • ⭐ f−1f^{-1} нинг аниқланиш соҳаси = ff нинг қийматлар соҳаси; f−1f^{-1} нинг қийматлар соҳаси = ff нинг аниқланиш соҳаси.

Мисол: f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. x=2y+1x = 2y + 1 дан y=x−12y = \dfrac{x - 1}{2}, яъни f−1(x)=x−12f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{2}.

🟢 Кўп учрайдиган функциялар

f(x)f(x)f−1(x)f^{-1}(x)
ax+bax + bx−ba\dfrac{x - b}{a}
(x−p)2+q(x - p)^2 + q,   x≥p\;x \ge pp+x−qp + \sqrt{x - q},   x≥q\;x \ge q
(x−p)2+q(x - p)^2 + q,   x≤p\;x \le pp−x−qp - \sqrt{x - q},   x≥q\;x \ge q
x−a+b\sqrt{x - a} + b,   x≥a\;x \ge a(x−b)2+a(x - b)^2 + a,   x≥b\;x \ge b
ax+bcx+d\dfrac{ax + b}{cx + d}b−dxcx−a\dfrac{b - dx}{cx - a}
kx\dfrac{k}{x}kx\dfrac{k}{x} (ўз-ўзига тескари)

⚠️ Квадрат функцияда ±\pm дан қайси бирини олиш ff нинг аниқланиш соҳасига боғлиқ: f−1f^{-1} нинг қийматлари ff нинг аниқланиш соҳасига тушиши керак.

🟢 Мураккаб функциянинг тескариси

(gf)−1(x)=f−1g−1(x)(gf)^{-1}(x) = f^{-1}g^{-1}(x)

Тартиб тескарига алмашади: "аввал пайпоқ, кейин оёқ кийим — ечишда тескариси".

🟢 Ўз-ўзига тескари функция

f−1=ff^{-1} = f бўлса, ff(x)=xff(x) = x. Масалан: kx\dfrac{k}{x},   a−x\;a - x,   ax+bcx−a\;\dfrac{ax + b}{cx - a}.

🟢 Тескари функция мавжудлиги

  • Горизонтал чизиқ тести: ҳар қандай горизонтал чизиқ графикни кўпи билан бир марта кесса, функция биттага-битта.
  • Қатъий ўсувчи ёки қатъий камаювчи функция ҳар доим биттага-битта.

🟢 Хоссалар

  • Ассоциатив: h(gf)=(hg)fh(gf) = (hg)f
  • Одатда коммутатив эмас: gf≠fggf \ne fg
  • ff−1(x)=f−1f(x)=xff^{-1}(x) = f^{-1}f(x) = x (айний функция)
  • f2(x)f^2(x) одатда ff(x)ff(x) ни билдиради, [f(x)]2[f(x)]^2 ни эмас.

🟢 Қўзғалмас нуқта

f(x)=xf(x) = x тенгламанинг ечимлари — y=f(x)y = f(x) ва y=xy = x кесишиш нуқталари. ff ўсувчи бўлса, улар ff ва f−1f^{-1} нинг кесишиш нуқталари билан бир хил.

ff ва f−1f^{-1} графикларининг кесишиши

ff ўсувчи бўлса, f(x)=f−1(x)f(x) = f^{-1}(x) тенгламанинг ечимлари f(x)=xf(x) = x тенгламанинг ечимлари билан бир хил.

Машқ қилинг

15 та савол, вақт билан, изоҳлари билан.

Тестга ўтиш
Yordam