Ўрта қиймат, медиана ва мода

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар.

Ўрта арифметик

• ⭐ $n$ та соннинг ўрта арифметиги:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

• ⭐ Йиғинди ўртача ва сонлар сони орқали топилади: $S = \bar{x} \cdot n$. Шу орқали "йиғинди қандай ўзгарди" туридаги масалалар ечилади.
  • Мисол: $5$ та соннинг ўртачаси $12$ эди. Яна битта сон қўшилганда ўртача $14$ бўлди. Қўшилган сон: $14 \cdot 6 - 12 \cdot 5 = 84 - 60 = 24$.
• Ўртача энг кичик ва энг катта сон орасида бўлади: $x_{\min} \le \bar{x} \le x_{\max}$.
• Ҳар бир сонга $c$ қўшилса, ўртача ҳам $c$ га ортади. Ҳар бир сон $k$ марта кўпайтирилса, ўртача ҳам $k$ марта кўпаяди.

Тортилган (оғирликли) ўртача

• ⭐ Сонлар ҳар хил марта учраса ёки гуруҳлар ҳар хил катта бўлса, ҳар бир қиймат ўз оғирлиги ($n_i$) билан ҳисобланади:

$\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}$

• Мисол: $4$ нафар ўқувчи $80$ балл, $6$ нафари $90$ балл олди. Ўртача: $\dfrac{4 \cdot 80 + 6 \cdot 90}{4 + 6} = \dfrac{860}{10} = 86$.
• ⚠️ Икки гуруҳнинг ўртачаларини оддий ўртача қилиб бўлмайди: $\dfrac{80 + 90}{2} = 85$ — бу хато, гуруҳлар сони тенг бўлмаса.
• Тортилган ўртача ҳар доим гуруҳ ўртачалари орасида бўлади ва катта гуруҳга яқинроқ.

Ўртача тезлик

• ⭐ Ўртача тезлик $=\dfrac{\text{бутун йўл}}{\text{бутун вақт}}$. У тезликларнинг ўрта арифметиги эмас.
• Мисол: $4$ соат $90$ км/соат, кейин $1$ соат $40$ км/соат: $\dfrac{90 \cdot 4 + 40 \cdot 1}{4 + 1} = \dfrac{400}{5} = 80$ км/соат.
• Икки тенг йўл қисми $v_1$ ва $v_2$ тезлик билан ўтилса:

$v_{\text{ўрт}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Масалан, $60$ ва $40$ км/соат бўлса: $\dfrac{2 \cdot 60 \cdot 40}{100} = 48$ км/соат.

Медиана

• ⭐ Медиана — сонлар ўсиш тартибида ёзилганда ўртадаги қиймат. Аввал тартибланг!
  • $n$ тоқ бўлса: ўртадаги сон (тартиб рақами $\dfrac{n + 1}{2}$). $2, 9, 4, 7, 5 \to 2, 4, 5, 7, 9$: медиана $5$.
  • $n$ жуфт бўлса: иккита ўртадаги соннинг ўрта арифметиги. $3, 5, 7, 9$: медиана $\dfrac{5 + 7}{2} = 6$.
• Медиана четдаги жуда катта ёки жуда кичик қийматларга деярли сезгир эмас, ўртача эса сезгир. Масалан, $1, 2, 3, 4, 100$: медиана $3$, ўртача $22$.

Мода ва кенглик

• ⭐ Мода — қаторда энг кўп учрайдиган қиймат. Бир нечта мода бўлиши мумкин ($1, 1, 2, 2, 3$: иккита мода — $1$ ва $2$), ҳамма қиймат бир хил марта учраса мода йўқ.
• Кенглик (ўзгариш оралиғи) $= x_{\max} - x_{\min}$.

Қайси бири қачон

Типик хатолар

• ⚠️ Медианани тартибламасдан олиш.
• ⚠️ Жуфт сонли қаторда медианани битта ўртадаги сон деб олиш.
• ⚠️ Ўртачани гуруҳ катталикларини ҳисобга олмасдан топиш.