Квадрат тенгламалар📈 Графикда кўриш

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар.

Квадрат тенгламани ечиш $ax^2 + bx + c = 0$

• ⭐ Нол кўпайтма қоидаси: $A \cdot B = 0 \;\Rightarrow\; A = 0$ ёки $B = 0$
• График усул: $y = ax^2 + bx + c$ графиги $x$ ўқини кесган нуқталар — тенгламанинг илдизлари (тақрибий).
• Тўла квадратга келтириш: $x^2 + bx + c = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 + c$
• $y = (x - p)^2 + q$ бўлса: учи $(p,\ q)$, симметрия ўқи $x = p$
• ⭐ Квадрат формула: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
• ⭐ Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

• Яширин квадрат тенглама: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ да $y = x^2$ деб олинади, натижада $y^2 - 13y + 36 = 0$.

Тўла квадрат — умумий ҳолат ($a \neq 1$)

Умумий формуласи:

$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

• Учи: $\left(-\dfrac{b}{2a},\ c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$
• Симметрия ўқи: $x = -\dfrac{b}{2a}$
• $a > 0$ бўлса, учи минимум нуқта; $a < 0$ бўлса, максимум нуқта

Мисол: $2x^2 - 8x + 3 = 2(x - 2)^2 - 5$. Учи $(2, -5)$, минимум қиймати $-5$.

Квадрат учҳаднинг ишораси

Бошқа яширин квадрат тенгламалар

Тенглама $a\,[f(x)]^2 + b\,f(x) + c = 0$ кўринишида бўлса, $u = f(x)$ деб олинг.

Мисол: $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$. $u = \sqrt{x}$ десак, $u^2 - 5u + 6 = 0$, бундан $u = 2$ ёки $u = 3$, яъни $x = 4$ ёки $x = 9$. ⚠️ $u = \sqrt{x} \ge 0$ бўлиши шарт, шунинг учун манфий $u$ чиқса, уни ташлаб юборинг.