Функция, аниқланиш ва қийматлар соҳаси📈 Графикда кўриш

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Асосий тушунчалар

• Акслантириш (маппинг) — кириш қийматларини (объектлар) чиқиш қийматларига (образлар) боғловчи қоида. Турлари: биттага-битта, кўпга-битта, биттага-кўп, кўпга-кўп.
• ⭐ Функция — ҳар бир кириш қийматига айнан битта чиқиш қиймати мос келадиган акслантириш (биттага-битта ёки кўпга-битта).
• Белгилаш: $f(x) = 2x + 5$ ёки $f: x \mapsto 2x + 5$
• Аниқланиш соҳаси (domain) — мумкин бўлган $x$ қийматлар тўплами.
• Қийматлар соҳаси (range) — функция қабул қиладиган қийматлар тўплами.
• Аниқланиш соҳасини танлашда: нолга бўлиш бўлмасин ($\frac{1}{g(x)}$ да $g(x) \ne 0$) ва манфий сондан квадрат илдиз олинмасин ($\sqrt{g(x)}$ да $g(x) \ge 0$).
• Функция графигида ҳар бир $x$ га фақат битта $y$ мос келади: ҳар қандай вертикал чизиқ графикни кўпи билан бир марта кесади.

🟢 Қаерда функция аниқланмайди

🟢 Қийматлар соҳасини топиш усуллари

• Квадрат функция: тўла квадратга келтиринг.
• Чизиқли функция: чегаравий нуқталардаги қийматларни ҳисобланг.
• $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$: $y = \dfrac{a}{c}$ дан бошқа барча қийматлар.
• Умумий усул: $y = f(x)$ ни $x$ га нисбатан ечиб, қайси $y$ учун ечим борлигини текширинг.

🟢 Жуфт ва тоқ функциялар

• Жуфт: $f(-x) = f(x)$ — график $y$ ўқига нисбатан симметрик (масалан, $x^2$, $\cos x$)
• Тоқ: $f(-x) = -f(x)$ — график координата бошига нисбатан симметрик (масалан, $x^3$, $\sin x$)
• Жуфт × жуфт = жуфт, тоқ × тоқ = жуфт, жуфт × тоқ = тоқ

🔵 Ҳар қандай функцияни жуфт ва тоқ қисмга ажратиш

$f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{жуфт}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{тоқ}}$

🟢 Даврий функциялар

$f(x + T) = f(x)$ барча $x$ учун бажарилса, $f$ — даври $T$ бўлган даврий функция. $f(bx)$ нинг даври $\dfrac{T}{b}$.