Чизиқли тенгсизликлар📈 Графикда кўриш

🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Тенгсизликлар

• Манфий сонга кўпайтирсангиз ёки бўлсангиз, тенгсизлик белгиси тескарига ўзгаради.
• Квадрат тенгсизлик ($\alpha < \beta$) — аввал графигини чизинг:
  • $(x - \alpha)(x - \beta) < 0 \;\Rightarrow\; \alpha < x < \beta$
  • $(x - \alpha)(x - \beta) > 0 \;\Rightarrow\; x < \alpha$ ёки $x > \beta$

🟢 Классик тенгсизликлар

$a^2 + b^2 \ge 2ab \qquad \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} \;\; (a, b \ge 0) \qquad x + \frac{1}{x} \ge 2 \;\; (x > 0)$

Ўрта арифметик ≥ ўрта геометрик. Тенглик фақат $a = b$ бўлганда. Натижа: йиғиндиси $s$ бўлган икки мусбат соннинг кўпайтмаси энг кўпи билан $\dfrac{s^2}{4}$.

🟢 Касрли тенгсизлик

$\dfrac{x - a}{x - b} > 0$ ни ечишда иккала томонни $(x - b)^2$ га кўпайтиринг (у ҳар доим мусбат): $(x - a)(x - b) > 0$, $x \ne b$.