Чизиқли функция📈 Графикда кўриш

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Градиэнт (бурчак коэффициенти)

• ⭐ Градиэнт: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, шунингдек $m = \tan\theta$ ($\theta$ — чизиқ билан $x$ ўқи орасидаги бурчак)
• Горизонтал чизиқ градиэнти $m = 0$; вертикал чизиқ градиэнти аниқланмаган.
• ⭐ Параллел чизиқлар: $m_1 = m_2$
• ⭐ Перпендикуляр чизиқлар: $m_1 m_2 = -1$, яъни $m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$

Тўғри чизиқ тенгламасининг шакллари

• Ўрта перпендикуляр кесманинг ўрта нуқтасидан ўтади, градиэнти $-\dfrac{1}{m}$.
• Икки чизиқнинг кесишиш нуқтаси — уларнинг тенгламаларини система қилиб ечиш натижаси. Параллел чизиқлар кесишмайди (системанинг ечими йўқ).

Бошқа фойдали формулалар

• Учбурчакнинг оғирлик маркази (centroid): $\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$
• Кесмалар шакли: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$. Бу чизиқ $(a, 0)$ ва $(0, b)$ нуқталардан ўтади.

🟢 $ax + by + c = 0$ чизиғи билан ишлаш

• Градиэнти: $m = -\dfrac{a}{b}$, $y$ ўқини кесиш нуқтаси: $-\dfrac{c}{b}$
• Унга параллел чизиқ: $ax + by + k = 0$
• Унга перпендикуляр чизиқ: $bx - ay + k = 0$

($k$ ни берилган нуқтани қўйиб топасиз.)

🟢 Бурчак орқали чизиқ

$x$ ўқи билан $\theta$ бурчак ҳосил қилувчи ва $(x_1, y_1)$ дан ўтувчи чизиқ: $\;y - y_1 = \tan\theta\,(x - x_1)$

🟢 Икки чизиқ орасидаги бурчак

$\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$

$1 + m_1 m_2 = 0$ бўлса, чизиқлар перпендикуляр.

🟢 Нуқтадан чизиққача ва параллел чизиқлар орасидаги масофа

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \qquad d_{\parallel} = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Мисол: $(1, 2)$ дан $3x + 4y - 1 = 0$ гача: $d = \dfrac{|3 + 8 - 1|}{5} = 2$

🟢 Ўрта перпендикулярнинг тайёр тенгламаси

$A(x_1, y_1)$ ва $B(x_2, y_2)$ дан тенг узоқликдаги нуқталар тўплами:

$2(x_2 - x_1)\,x + 2(y_2 - y_1)\,y = x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 - y_1^2$

🟢 Перпендикуляр асоси ва нуқтанинг акси

$P(x_0, y_0)$ ва $ax + by + c = 0$ учун $t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$:

• Перпендикуляр асоси: $H = (x_0 - a\,t,\ \ y_0 - b\,t)$
• Чизиққа нисбатан акси: $P' = (x_0 - 2a\,t,\ \ y_0 - 2b\,t)$

🔵 Икки чизиқ кесишиш нуқтасидан ўтувчи чизиқлар оиласи

$(a_1x + b_1y + c_1) + \lambda\,(a_2x + b_2y + c_2) = 0$

Кесишиш нуқтасини топмасдан, $\lambda$ ни қўшимча шартдан топасиз.

🔵 Бурчак биссектрисалари

$\frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm\,\frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$

🔵 Уч чизиқнинг бир нуқтада кесишиш шарти

$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$