Бином ёйилмаси

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар. · 🟢 — масалани тезлаштиради · 🟡 — илғор даража · 🔵 — чуқур ўрганиш (олимпиада даражаси)

Бином ёйилмаси

• Паскал учбурчаги: ҳар бир сон юқоридаги икки сон йиғиндиси. $n$-қатор — $(x + y)^n$ коэффициентлари. Ҳар бир ҳадда $x$ ва $y$ даражалари йиғиндиси $n$ га тенг.
• Факториал: $n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 1$, $\quad 0! = 1$
• ⭐ Бином коэффициенти: $\binom{n}{r} = {}^nC_r = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$
• ⭐ $(1 + x)^n$ ёйилмаси: $(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots + x^n$
• ⭐ Бином теоремаси ($n$ — мусбат бутун сон): $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$

Бином ёйилмасининг умумий ҳади

$(a + b)^n$ нинг $(r + 1)$-ҳади: $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$

Мисол: $(2 + x)^5$ даги $x^2$ коэффициенти: $\binom{5}{2} \cdot 2^3 = 10 \cdot 8 = 80$.

Бином коэффициентлари хоссалари

$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \qquad \binom{n}{1} = n \qquad \binom{n}{r} = \binom{n}{n - r}$

Икки қавс кўпайтмасидаги коэффициент

$(p + qx)(1 + x)^n$ даги $x^k$ коэффициенти: $p \cdot [x^k \text{ коэффициенти}] + q \cdot [x^{k-1} \text{ коэффициенти}]$

Яъни иккинчи қавсдан фақат керакли даражани берадиган ҳадларни оласиз.

🟢 Факториал ва ўринлаштиришлар

$n! = n(n-1)(n-2)\cdots 2 \cdot 1 \qquad {}^nP_r = \frac{n!}{(n - r)!} \qquad {}^nC_r = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$

🟢 Бином коэффициентлари хоссалари

$\binom{n}{r} + \binom{n}{r + 1} = \binom{n + 1}{r + 1} \quad \text{(Паскал қоидаси)}$

$\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} = 2^n \qquad \sum_{r=0}^{n}(-1)^r\binom{n}{r} = 0$

• Энг катта коэффициент ўртада: $n$ жуфт бўлса $r = \frac{n}{2}$; тоқ бўлса $r = \frac{n - 1}{2}$ ва $\frac{n + 1}{2}$.

🟢 $x$ қатнашмаган ҳад (term independent of $x$)

$\left(ax^p + \dfrac{b}{x^q}\right)^n$ нинг умумий ҳадидаги $x$ даражаси: $p(n - r) - qr$. Уни нолга тенглайсиз:

$r = \frac{pn}{p + q}$

Мисол: $\left(x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^6$ да $r = \dfrac{2 \cdot 6}{3} = 4$, ҳад: $\binom{6}{4} = 15$.

🔵 Кетма-кет ҳадлар нисбати

$(1 + x)^n$ да:

$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{n - r + 1}{r}\,x$

🟢 Тақрибий ҳисоблаш

$x$ кичик бўлса: $(1 + x)^n \approx 1 + nx$

Мисол: $1.02^{5} \approx 1 + 5(0.02) = 1.1$ (аниқ қиймати $1.104\ldots$).

🟡 Бутун бўлмаган $n$ учун бином ($|x| < 1$)

$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots$

• $(1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$ — бу $r = x$ бўлган чексиз G.P.!
• $(1 + x)^{\frac{1}{2}} \approx 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8}$