Алгебраик касрлар

⭐ — имтиҳонда энг кўп ишлатиладиган формулалар.

Асосий тушунчалар

• ⭐ Алгебраик каср — сурати ва махражи ифода бўлган каср: $\dfrac{P}{Q}$. Махраж $Q \ne 0$ бўлиши шарт: махражни нолга айлантирадиган қийматлар каср учун мумкин эмас (аниқланиш соҳасидан чиқарилади).
• ⭐ Касрнинг асосий хоссаси: сурат ва махражни бир хил нолга тенг бўлмаган ифодага кўпайтириш ёки бўлиш касрни ўзгартирмайди:

$\frac{P}{Q} = \frac{P \cdot R}{Q \cdot R} = \frac{P : R}{Q : R} \qquad (R \ne 0)$

Қисқартириш

• ⭐ Аввал сурат ва махражни кўпайтувчиларга ажратинг, кейин умумий кўпайтувчини қисқартиринг.
• Даражалар: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Масалан, $\dfrac{12x^5y^2}{18x^2y^3} = \dfrac{2x^3}{3y}$.
• Қавсдан чиқариш билан: $\dfrac{6x - 24}{5x - 20} = \dfrac{6(x - 4)}{5(x - 4)} = \dfrac{6}{5}$ $\;(x \ne 4)$.
• Квадратлар айирмаси билан: $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \dfrac{x - 3}{x}$ $\;(x \ne 0,\ x \ne -3)$.
• Ишорани алмаштириш: $b - a = -(a - b)$, шунинг учун $\dfrac{a - b}{b - a} = -1$.
• ⚠️ Қўшилувчиларни қисқартириб бўлмайди, фақат кўпайтувчилар қисқаради: $\dfrac{x + 2}{x + 3} \ne \dfrac{2}{3}$.

Кўпайтувчиларга ажратиш формулалари (қисқартириш учун)

• $ax + ay = a(x + y)$
• $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
• $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
• $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
• Квадрат учҳад: $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$, бунда $x_1, x_2$ — унинг илдизлари.

Қўшиш ва айириш

• ⭐ Махражлар бир хил: $\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}$.
• ⚠️ Айиришда айрилувчининг суратини қавсга олинг, акс ҳолда ишоралар хато чиқади:

$\frac{5x + 1}{x - 2} - \frac{2x - 3}{x - 2} = \frac{5x + 1 - (2x - 3)}{x - 2} = \frac{3x + 4}{x - 2}$

• ⭐ Махражлар ҳар хил: аввал махражларни кўпайтувчиларга ажратинг, умумий махражга ҳар бир кўпайтувчини энг катта даражаси билан киритинг, кейин ҳар бир касрни етишмаган кўпайтувчига кўпайтиринг.
  • $\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{3x + 1}{x^2}$
  • $\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{(x + 1) + (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{2x}{x^2 - 1}$

Кўпайтириш ва бўлиш

• ⭐ $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$. Кўпайтиришдан олдин кўпайтувчиларга ажратиб, қисқартириб олинг.
• ⭐ $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$ $\;(c \ne 0)$.
• Даражага кўтариш: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$.
• Кўп қаватли каср: $\dfrac{\;\frac{a}{b}\;}{\frac{c}{d}} = \dfrac{ad}{bc}$.
• Мисол: $\dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \cdot \dfrac{x + 3}{x - 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 3} \cdot \dfrac{x + 3}{x - 2} = x + 2$ $\;(x \ne -3,\ x \ne 2)$.

Типик хатолар

• ⚠️ $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \ne \dfrac{a + c}{b + d}$ — махражлар қўшилмайди.
• ⚠️ $\dfrac{a + b}{a} \ne b$ — сурат ва махраждаги умумий қўшилувчини қисқартириб бўлмайди.
• ⚠️ Қисқартиргандан кейин ҳам дастлабки ифоданинг аниқланиш соҳаси сақланади: $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ фақат $x \ne 2$ да.