Темы

Математика / Тригонометрия

Тригонометрические отношения и точные значения

⭐ — формулы, которые чаще всего встречаются на экзамене. · 🟢 — ускоряет решение · 🟡 — продвинутый уровень · 🔵 — углублённое изучение (уровень олимпиад)

Основные определения

  • ⭐ В прямоугольном треугольнике: sin⁡θ=противолежащий катетгипотенузаcos⁡θ=прилежащий катетгипотенузаtan⁡θ=противолежащий катетприлежащий катет\sin\theta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \qquad \cos\theta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \qquad \tan\theta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}
  • sin⁡θ=cos⁡(90°−θ)\sin\theta = \cos(90° - \theta), cos⁡θ=sin⁡(90°−θ)\quad \cos\theta = \sin(90° - \theta)
  • Угол подъёма — угол между горизонталью и направлением вверх; угол спуска — угол между горизонталью и направлением вниз. Азимут (bearing) — угол, который отсчитывается от севера по часовой стрелке.

Точные значения

  • ⭐
θ\theta30°30°45°45°60°60°
sin⁡θ\sin\theta12\frac{1}{2}12\frac{1}{\sqrt{2}}32\frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡θ\cos\theta32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{\sqrt{2}}12\frac{1}{2}
tan⁡θ\tan\theta13\frac{1}{\sqrt{3}}113\sqrt{3}

Для произвольного угла

  • Точка на единичной окружности, соответствующая углу θ\theta: (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta)
  • ⭐ Правило знаков (CAST): какая функция положительна в какой четверти:
ЧетвертьПоложительны
I (0°0°–90°90°)All — все функции
II (90°90°–180°180°)Sin — синус
III (180°180°–270°270°)Tan — тангенс
IV (270°270°–360°360°)Cos — косинус
  • sin⁡θ=sin⁡(180°−θ)\sin\theta = \sin(180° - \theta), cos⁡θ=sin⁡(θ+90°)\quad \cos\theta = \sin(\theta + 90°)
  • Период: у sin⁡θ\sin\theta и cos⁡θ\cos\theta — 360°360°, у tan⁡θ\tan\theta — 180°180°
  • tan⁡θ\tan\theta не определён при θ=90°,270°,…\theta = 90°, 270°, \dots (асимптоты)

Точные значения в радианах и для граничных углов

θ\theta00π6\frac{\pi}{6}π4\frac{\pi}{4}π3\frac{\pi}{3}π2\frac{\pi}{2}π\pi
sin⁡θ\sin\theta0012\frac{1}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}1100
cos⁡θ\cos\theta1132\frac{\sqrt{3}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}12\frac{1}{2}00−1-1
tan⁡θ\tan\theta0013\frac{1}{\sqrt{3}}113\sqrt{3}—00

Формулы приведения

sin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
−θ-\theta−sin⁡θ-\sin\thetacos⁡θ\cos\theta−tan⁡θ-\tan\theta
180°−θ180° - \thetasin⁡θ\sin\theta−cos⁡θ-\cos\theta−tan⁡θ-\tan\theta
180°+θ180° + \theta−sin⁡θ-\sin\theta−cos⁡θ-\cos\thetatan⁡θ\tan\theta
360°−θ360° - \theta−sin⁡θ-\sin\thetacos⁡θ\cos\theta−tan⁡θ-\tan\theta
90°−θ90° - \thetacos⁡θ\cos\thetasin⁡θ\sin\theta1tan⁡θ\dfrac{1}{\tan\theta}

🔵 Другие значения углов

θ\thetasin⁡θ\sin\thetacos⁡θ\cos\thetatan⁡θ\tan\theta
15°15°6−24\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}6+24\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}2−32 - \sqrt{3}
75°75°6+24\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}6−24\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}2+32 + \sqrt{3}
18°18°5−14\dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}——
36°36°—5+14\dfrac{\sqrt{5} + 1}{4}—

Перевод выполнен автоматически и проходит проверку. Нашли неточность? Напишите нам в Telegram-бот поддержки.

Yordam