Проценты

⭐ — формулы, которые чаще всего встречаются на экзамене.

Основные определения

• ⭐ $1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$. $p\%$ — это $\dfrac{p}{100}$ часть числа.
• От процентов к дроби: $25\% = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$. От дроби к процентам: $\dfrac{3}{5} = 0{,}6 = 60\%$.

Три основные задачи

• ⭐ Нахождение процентов от числа: $p\%$ от $A$ равны $A \cdot \dfrac{p}{100}$. Например, $15\%$ от $240$ равны $36$.
• ⭐ Нахождение числа по его процентам: если $p\%$ числа $A$ равны $B$, то $A = B \cdot \dfrac{100}{p}$. Например, число, $15\%$ которого равны $36$: $36 \cdot \dfrac{100}{15} = 240$.
• ⭐ Нахождение процентного отношения: сколько процентов число $B$ составляет от $A$: $\dfrac{B}{A} \cdot 100\%$. Например, число $36$ составляет от $240$ $\dfrac{36}{240} \cdot 100\% = 15\%$.

Изменение

• ⭐ Число, увеличенное на $p\%$: $A\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$. Число, уменьшенное на $p\%$: $A\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$.
• Процентное изменение: $\dfrac{\text{новое} - \text{старое}}{\text{старое}} \cdot 100\%$.
• ⭐ Скидка: новая цена $= \text{цена} \cdot \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$.
• Последовательные изменения умножаются, а не складываются: если число увеличили на $p\%$, а затем на $q\%$, общий коэффициент равен $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)\left(1 + \dfrac{q}{100}\right)$.
• ⚠️ Если число увеличили на $20\%$, а затем уменьшили на $20\%$, оно не вернётся к исходному: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$, то есть оно уменьшится на $4\%$.

Проценты и процентные пункты

• Процентный пункт — это разность процентов: рост с $20\%$ до $25\%$ составляет $5$ процентных пунктов, но при этом рост на $\dfrac{25 - 20}{20} \cdot 100\% = 25\%$.

Процентный рост (вклад, кредит)

• ⭐ Простые проценты: через $n$ лет $A = A_0\left(1 + \dfrac{p \cdot n}{100}\right)$ (проценты начисляются только на начальную сумму).
• ⭐ Сложные проценты: $A = A_0\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^n$ (каждый год проценты начисляются на сумму предыдущего года).
• Пример: $1\,000$ сумов под $10\%$ годовых на $2$ года: при простых процентах $1\,200$, при сложных $1\,000 \cdot 1{,}1^2 = 1\,210$.

На практике

• Налог на добавленную стоимость, скидка, наценка: всё это имеет вид $A \cdot (1 \pm \dfrac{p}{100})$.
• Доля вещества в смеси: $\dfrac{\text{масса вещества}}{\text{масса смеси}} \cdot 100\%$.