Производная и правила дифференцирования

⭐ — формулы, которые чаще всего встречаются на экзамене. · 🟢 — ускоряет решение · 🟡 — продвинутый уровень · 🔵 — углублённое изучение (уровень олимпиад)

Понятие производной

• Градиент (угловой коэффициент) кривой в точке равен градиенту касательной в этой точке. Его можно найти через градиенты хорд, всё ближе подходящих к точке.
• По определению (first principles): $\frac{dy}{dx} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta y}{\delta x}$
• Обозначения: первая производная $\dfrac{dy}{dx}$ или $f'(x)$; вторая производная $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ или $f''(x)$.

Стандартные результаты ($k$, $n$, $c$ — постоянные)

• ⭐ $y = kx^n \;\Rightarrow\; \dfrac{dy}{dx} = knx^{n-1}$ ($n$ — любое число: отрицательное или дробное тоже)
• $y = c \;\Rightarrow\; \dfrac{dy}{dx} = 0$
• ⭐ Сумма: $y = f(x) + g(x) \;\Rightarrow\; \dfrac{dy}{dx} = f'(x) + g'(x)$
• ⭐ Перед дифференцированием приведите корни и дроби к виду степени: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \qquad \frac{1}{x} = x^{-1} \qquad \frac{k}{x^n} = kx^{-n} \qquad \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$
• Если в выражении есть произведение или частное, сначала раскройте скобки или выполните деление: $(x + 1)(x - 5) = x^2 - 4x - 5$.

🟢 Другая форма

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Пример: для $f(x) = x^2$ получаем $\dfrac{(x + h)^2 - x^2}{h} = 2x + h \to 2x$.

🟢 Производная обратной функции

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;}$

🔵 Производные высших порядков

• $n$-я производная $x^n$ равна $n!$; её $(n+1)$-я производная равна $0$
• $(n + 1)$-я производная многочлена степени $n$ равна нулю.

🟡 Правила

$\text{Произведение: } (uv)' = u'v + uv' \qquad \text{Частное: } \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

🟡 Стандартные производные