Квадратные уравнения

⭐ — формулы, которые чаще всего встречаются на экзамене.

Решение квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$

• ⭐ Правило нулевого произведения: $A \cdot B = 0 \;\Rightarrow\; A = 0$ или $B = 0$
• Графический способ: точки пересечения графика $y = ax^2 + bx + c$ с осью $x$ — корни уравнения (приближённые).
• Выделение полного квадрата: $x^2 + bx + c = \left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 + c$
• Если $y = (x - p)^2 + q$, то вершина $(p,\ q)$, ось симметрии $x = p$
• ⭐ Формула корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
• ⭐ Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

• Скрытое квадратное уравнение: в уравнении $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ принимают $y = x^2$, получая $y^2 - 13y + 36 = 0$.

Полный квадрат — общий случай ($a \neq 1$)

Общая формула:

$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

• Вершина: $\left(-\dfrac{b}{2a},\ c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$
• Ось симметрии: $x = -\dfrac{b}{2a}$
• При $a > 0$ вершина — точка минимума; при $a < 0$ — точка максимума

Пример: $2x^2 - 8x + 3 = 2(x - 2)^2 - 5$. Вершина $(2, -5)$, наименьшее значение $-5$.

Знак квадратного трёхчлена

Другие скрытые квадратные уравнения

Если уравнение имеет вид $a\,[f(x)]^2 + b\,f(x) + c = 0$, введите замену $u = f(x)$.

Пример: $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$. Если $u = \sqrt{x}$, то $u^2 - 5u + 6 = 0$, откуда $u = 2$ или $u = 3$, то есть $x = 4$ или $x = 9$. ⚠️ Должно выполняться $u = \sqrt{x} \ge 0$, поэтому если получится отрицательное $u$, отбросьте его.